Это старая версия документа!
Введение
Развитие электроники и вычислительной техники резко увеличило значение цифровых методов для обработки сигналов измерений. В отличие от аналогового способа, в этом случае используется предварительное преобразования сигнала в некоторое двоичное число. Затем полученная последовательность данных может быть проинтегрирована, продифференцирована, умножена на масштабирующий множитель и т. д. Количество доступных операций для обработки сигнала становится практически неограниченным. Но цифровым устройствам свойственны некоторые особенности, которые нужно учитывать при измерениях.
Спектральный анализ – это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать сигнал как сумму гармонических составляющих. В metricconverterProductID1807 г1807 г. французский ученый Жан Батист Жозеф Фурье высказал предположение, что любую произвольную периодическую функцию x(t)x(t) с периодом TT можно выразить в виде суммы x(t)=a0+∞∑n=1ancos(2πntT)+bnsin(2πntT),x(t)=a0+∞∑n=1ancos(2πntT)+bnsin(2πntT), где значение коэффициентов определяется формулами a0=1T∫T0x(t)dt,an=2T∫T0x(t)cos(2πntT)dt,bn=2T∫T0x(t)sin(2πntT)dt.a0=1T∫T0x(t)dt,an=2T∫T0x(t)cos(2πntT)dt,bn=2T∫T0x(t)sin(2πntT)dt. Форма ряда, представленная в \eqref{GrindEQ1_}, называется тригонометрической. Более часто используемая экспоненциальная форма получается путем выражения тригонометрических функций через комплексную экспоненту \[x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n} \exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right) , c_{n} =\frac{1}{T} \int _{-{T \mathord{\left/{\vphantom{T 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }^t_mathord_left_vphantom_t_2\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }x\left(t\right)\exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .\] Сумма в этом представлении охватывает не только положительные, но и отрицательные значения \textit{n}. Гармоники cncn в общем случае являются комплексными числами, поэтому для их представления, как правило, используется два графика – один для модуля, а другой для аргумента комплексной функции. Множество всех коэффициентов ряда Фурье cncn называется спектром функции x(t)x(t). В частности, c0c0 является средним значением функции x(t)x(t), а величина c1c1 называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция x(t)x(t) является вещественной, тогда выполняется следующее тождество c∗n=c−n,c∗n=c−n, где * −− операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса \textit{n}, а аргумент – нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции x(t)x(t) достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам. \noindent ===== Спектр прямоугольного импульса ===== Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая изображена на рис. 1. Ряд Фурье для этой функции \begin{equation} \label{GrindEQ2_} x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi } \cos \left(\frac{2\pi t}{\Delta } \right)-\frac{2}{3\pi } \cos \left(\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\frac{2}{5\pi } \cos \left(\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\ldots . \end{equation} На рис. 2 показано как частичные суммы этого ряда сходятся к x(t)x(t).
\noindent В комплексной форме гармоники имеют вид x(t)=12+1π(exp(i2πtΔ)+exp(−i2πtΔ))−−13π(exp(i6πtΔ)+exp(−i6πtΔ))+15π(exp(i10πtΔ)+exp(−i10πtΔ))…x(t)=12+1π(exp(i2πtΔ)+exp(−i2πtΔ))−−13π(exp(i6πtΔ)+exp(−i6πtΔ))+15π(exp(i10πtΔ)+exp(−i10πtΔ))… \includegraphics*[width=1.94in, height=0.73in, keepaspectratio=false]{image91}
\noindent \textit{Рис. 1.} Периодический прямоугольный сигнал
\noindent
Дискретное преобразование Фурье
Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени.
Из теоремы Найквиста −− Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой fswitchfswitch изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты fmaxfmax fswitch=2⋅fmax.fswitch=2⋅fmax. Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4).
\noindent \includegraphics*[width=2.04in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image92}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image93}
n = 1 n = 2
\noindent \includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image94}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image95}
n = 3 n = 7
\noindent \textit{Рис. 2.} Частичные суммы ряда Фурье в случае прямоугольного сигнала
Другим важным параметром спектрального анализа является спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом ττ спектральное разрешение равно fmin=1N⋅τ.fmin=1N⋅τ. Эта же величина равна шагу по частоте Δf=fminΔf=fmin для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье.
\noindent
\noindent
\noindent
Фильтрация
Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал x(t)x(t) на конечном промежутке TT, то это означает, что он может быть представлен в виде x(t)=x1(t)⋅f(t),f(t)=(1,|t|<T0,|t|>T,x(t)=x1(t)⋅f(t),f(t)=(1,|t|<T0,|t|>T, где x1(t)x1(t) есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции f(t)f(t) называется естественным временным окном, но используются и другие формы f(t)f(t). Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3 и 4. Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 5 приведены соответствующие спектры сигналов. Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 5 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна f(t)f(t) позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном.
\noindent
\noindent \includegraphics*[width=2.77in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.12in 0.12in 0.12in 0.12in]{image96}
\noindent Исходный сигнал для спектрального анализа
\noindent \includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image97}\includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image98}
\textit{Рис. 3.} Исходный сигнал после умножения на прямоугольное и треугольное окно
\noindent
\noindent \includegraphics*[width=2.66in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.10in 0.10in 0.10in 0.10in]{image99}
\textit{Рис. 4.} Спектр (модуль амплитуды) гармонического сигнала в случае использования различных окон
\noindent
Задания
1. Установите на осциллографе развертку луча 2,5 мс. Оставляя развертку неизменной, запишите синусоидальный сигнал с осциллографа для частот 50 Гц, 250 Гц, 1,5 кГц, 5,0 кГц, 20 кГц, 50 кГц, 300 кГц, 500 кГц. Сигнал необходимо записывать в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Определите минимальную и максимальную частоты, регистрируемые данным осциллографом при выбранной развертке.
2. Установите генератор в режим генерации прямоугольных импульсов. Запишите сигнал в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Сравните полученные данные с уравнением 2, объясните наличие в спектре всех частот.
3. Воспользовавшись тем, что в спектре прямоугольного импульса содержатся все частоты, оцените амплитудно-частотную характеристику фильтров низких частот, высоких частот и многозвенного (см. рис. 5 и 6). Для этого установите на генераторе сигналов режим прямоугольных сигналов с частотой примерно 50 Гц. Выберите развертку осциллографа 25 мс/дел. На рис. 7 показан возможный вид экрана осциллографа в указанном режиме. Подавая прямоугольный сигнал на входы фильтров, запишите одновременные осциллограммы для выходного и входного сигналов в текстовом виде. По полученным данным рассчитайте АЧХ фильтров. При этом учитывайте, что из рассмотрения нужно исключить гармоники с малой амплитудой, так как полученные с их использованием данные содержат большую погрешность. При обработке результатов рекомендуется использовать треугольное окно. Пример обработки на программе MathCad показан на рис. 8.
\eject \includegraphics*[width=1.06in, height=0.80in, keepaspectratio=false]{image100} \includegraphics*[width=1.21in, height=0.81in, keepaspectratio=false]{image101}
а б
\textit{Рис. 5.} Фильтр низких (а) и высоких частот (б)
\noindent
\noindent
\includegraphics*[width=3.02in, height=0.82in, keepaspectratio=false]{image102}
\noindent
\textit{Рис. 6.} Многозвенный фильтр низких частот
\includegraphics*[width=3.77in, height=2.82in, keepaspectratio=false]{image103}
\textit{Рис. 7.} Прохождение прямоугольного импульса через фильтр высоких частот
\noindent \includegraphics*[width=4.41in, height=5.83in, keepaspectratio=false]{image104}
\noindent \textit{Рис. 8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad
\noindent \includegraphics*[width=4.45in, height=3.12in, keepaspectratio=false]{image105}
\noindent \textit{Рис .8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad, продолжение
\noindent
Библиографический список
1. \textit{Часть I,} разделы 3 и 5 настоящего сборника.
2. \textit{Мешков И. Н., Чириков Б. В.} Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1.
3. \textit{Марпл С. Л.} Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.