Развитие электроники и вычислительной техники резко увеличило значение цифровых методов для обработки сигналов измерений. В отличие от аналогового способа, в этом случае используется предварительное преобразования сигнала в некоторое двоичное число. Затем полученная последовательность данных может быть проинтегрирована, продифференцирована, умножена на масштабирующий множитель и т.д. Количество доступных операций для обработки сигнала становится практически неограниченным. Но цифровым устройствам свойственны некоторые особенности, которые нужно учитывать при измерениях.

Спектральный анализ — это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать сигнал как сумму гармонических составляющих. В 1807 г. французский ученый Жан Батист Жозеф Фурье высказал предположение, что любую произвольную периодическую функцию $x\left(t\right)$ с периодом $T$ можно выразить в виде суммы $$\begin{equation} x\left(t\right)=a_{0} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right) +b_{n} \sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right), \end{equation}$$ где значение коэффициентов определяется формулами $$a_{0} =\frac{1}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)dt , a_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt , b_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .$$ Форма ряда, представленная в первом выражении, называется тригонометрической. Более часто используемая экспоненциальная форма получается путем выражения тригонометрических функций через комплексную экспоненту $$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n} \exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right) , c_{n} =\frac{1}{T} \int _{-\frac 12 T}^{\frac 12 T}x\left(t\right)\exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .$$ Сумма в этом представлении охватывает не только положительные, но и отрицательные значения $n.$ Гармоники $c_{n}$ в общем случае являются комплексными числами, поэтому для их представления, как правило, используется два графика — один для модуля, а другой для аргумента комплексной функции.

Множество всех коэффициентов ряда Фурье $c_{n}$ называется спектром функции $x\left(t\right)$. В частности, $c_{0}$ является средним значением функции $x\left(t\right)$, а величина $c_{1}$ называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция $x\left(t\right)$ является вещественной, тогда выполняется следующее тождество $$c_{n}^{*} =c_{-n} ,$$ (1) где * $-$ операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса $n,$ а аргумент — нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции $x\left(t\right)$ достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам.

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая изображена на рис. 1. Ряд Фурье для этой функции $$\begin{equation} \label{GrindEQ__2_} x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi } \cos \left(\frac{2\pi t}{\Delta } \right)-\frac{2}{3\pi } \cos \left(\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\frac{2}{5\pi } \cos \left(\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\ldots . \end{equation}$$ На рис. 2 показано как частичные суммы этого ряда сходятся к $x\left(t\right)$. В комплексной форме гармоники имеют вид $$\begin{array}{l} {\quad x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{1}{\pi } \left(\exp \left(i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)\right)-} \\ {-\frac{1}{3\pi } \left(\exp \left(i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)\right)+\frac{1}{5\pi } \left(\exp \left(i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)\right)\ldots } \end{array}$$

Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени.

Из теоремы Найквиста — Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой $f_{switch}$ изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты $f_{\max }$ $$f_{switch} =2\cdot f_{\max } .$$ Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4).

Другим важным параметром спектрального анализа является спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом $\tau$ спектральное разрешение равно $$f_{\min } =\frac{1}{N\cdot \tau } .$$ Эта же величина равна шагу по частоте $\Delta f=f_{\min }$ для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье.

Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал $x\left(t\right)$ на конечном промежутке $T$, то это означает, что он может быть представлен в виде $$x\left(t\right)=x_{1} \left(t\right)\cdot f\left(t\right), \ \ f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; \left|t\right|<T} \\ {\, 0,\left|t\right|>T\; } \end{array}\right. ,$$ где $x_{1} \left(t\right)$ есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции $f\left(t\right)$ называется естественным временным окном, но используются и другие формы $f\left(t\right)$. Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3. Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 4 приведены соответствующие спектры сигналов. Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 4 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна $f\left(t\right)$ позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном.

1. Мешков И.Н., Чириков Б.В., Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1.
2. Марпл С.Л., Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.