Во многих случаях анализа электрических цепей интересно знать токи и напряжения только некоторых ветвей и напряжения между конкретными узлами. В этом случае анализ цепи упрощается, если ее разделить на отдельные части, соединенные с остальными небольшим числом выводов — полюсов. В электротехнике особенно часто используется понятие цепи с двумя входами и двумя выходами, которую называют четырехполюсником. К четырехполюсникам относятся участки линий передачи электрической энергии, линии связи между генератором и приемником сигнала, аттенюаторы (ослабители) уровня сигнала, контуры, корректирующие форму сигнала, аналоговые вычислительные цепи, трансформаторы, цепи регулирования различных параметров машин и т.д. Четырехполюсники могут быть пассивными (не содержащими источников энергии) или активными (содержащими источники напряжения или тока). Теория четырехполюсников дает возможность единым способом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.

Рассмотрим цепочку, изображенную на рис. 10. Применим второй закон Кирхгофа к нашей цепи \[RI+\frac{q}{C} =U_{in} \left(t\right)\quad \Rightarrow \quad RI+\frac{1}{C} \cdot \int \limits_{0}^{t}I{\kern 1pt} dt =U_{in} \left(t\right),\] где $I$ — ток, протекающий по цепочке; $RI$ — падение напряжения на сопротивление; $q_{0} $ — начальный заряд в конденсаторе; $\frac qC$ — напряжение на конденсаторе; $U\left(t\right)$ — напряжение на источнике питания.

Дифференцируя данное выражение по времени, получаем $$ \frac{dI}{dt} +\frac{I}{RC} =\frac{1}{R} \frac{dU_{in} }{dt} . $$ Напряжение на выходе данного четырехполюсника $$U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int \limits_{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'. $$

Если величина $RC=\tau $ много больше характерного времени изменения нашего сигнала (или $\omega \gg \tau ^{-1}$), то вторым членом в левой части дифференциального уравнения можно пренебречь. В этом случае модуль емкостного сопротивления (импеданса) $\mid Z_C \mid =(\omega C)^{-1}$ много меньше активного сопротивления $Z_{R}=R$ и величина тока в цепи $I(t)$ практически полностью определяется величиной $R$: $$ I\left(t\right)=\frac{U\left(t\right)}{Z_{R} +Z_{C} } \approx \frac{U\left(t\right)}{R} . $$ Напряжение на выходе четырехполюсника $$ U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{RC} \int \limits_{0}^{t}U_{in} \left(t'\right) \, dt'. $$ Таким образом, данная схема в определенной области параметров «интегрирует» входной сигнал.

Продемонстрируем это свойство на примере простого импульса напряжения прямоугольной формы (рис. 11).

Действие такого импульса можно представить как мгновенное включение постоянного напряжения $U = U_{0}$ на время $T$ с последующим его выключением. Примем за начало отсчета времени момент «включения» напряжения (см. рис. 11) и проследим за изменением напряжения на выходе интегрирующей цепочки (на конденсаторе $С$). Решение дифференциального уравнения с начальными условиями $q_{0} =0$, $I_{t=0} =\frac{U_0}{R}$ (конденсатор не заряжен) при $t = 0$ имеет вид $$ I\left(t\right)=\frac{U_{0} }{R} \cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau } \right),\quad 0\le t\le T, $$ где $\tau =RC$ — постоянная времени интегрирующей цепочки. А напряжение на конденсаторе на этом же отрезке времени есть $$ U_{C} \left(t\right)=\frac{1}{C} \cdot \int \limits_{0}^{t}I{\kern 1pt} dt=U_{0} \left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right) . $$ При малых $t$ ($t\ll RC = \tau $) экспоненту можно разложить в ряд $1-exp(\frac{t}{\tau }) \approx \frac{t}{\tau },$ поэтому при $t\le \tau$ напряжение на конденсаторе растет почти линейно, т.е. напряжение на конденсаторе пропорционально интегралу от входного напряжения: $$ U_{C} \left(t\right)\propto \int \limits_{0}^{t}U\left(t\right){\kern 1pt} dt =\int \limits_{0}^{t}U_{0} dt =U_{0} t. $$

Если выполняется обратное условие к уже рассмотренному, т.е. $\mid Z_C\mid \gg Z_R$ (или $\omega \ll \tau ^{-1}$), то падение напряжения в цепи практически полностью определяется емкостью и решение дифференциального уравнения можно приближенно записать как $$ I\approx C\frac{dU_{in} }{dt} . $$ Тогда напряжение на выходе четырехполюсника $$ U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int \limits_{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'\approx U_{in} \left(t\right). $$

Т.е. низкочастотный сигнал интегрирующая цепочка пропускает практически без искажений, в отличие от высокочастотного сигнала, который интегрируется. Дифференцирующая цепь изображена на рис. 12. В отличие от интегрирующей цепи в качестве выходного сигнала выступает напряжение на сопротивление, $$U_{out} \left(t\right)=RI. $$ Анализ процессов аналогичен случаю интегрирующей цепочки. В случае $\mid Z_C \gg Z_{R}$ (или $\omega \ll \tau^{-1}$) ток равен $I\approx C\frac{dU_{in} }{dt} $ и напряжение на выходе цепи пропорционально $$ U_{out} \left(t\right)=RC\frac{dU_{in} }{dt} . $$

Благодаря тому, что импеданс (сопротивление) конденсаторов и индуктивностей зависит от частоты, с их помощью можно строить частотно-избирательные схемы. Например, четырехполюсник, изображенный на рис. 13, слева, хорошо пропускает сигнал низкой частоты (емкость – разрыв цепи для постоянного тока) и плохо пропускает высокочастотный сигнал (емкость – короткое замыкание для высоких частот).

\noindent \includegraphics*[width=1.84in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image41} \includegraphics*[width=1.76in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image42}

\noindent \textit{Рис. 13.} Фильтры низких (слева) и высоких (справа) частот

Четырехполюсник, изображенный на рис. 13, справа, ведет себя «с точностью до наоборот». При высокой частоте конденсатор $-$ хорошо проводящий элемент цепи $-$ и сигнал с \textit{U${}_{in}$} достигает \textit{U${}_{out}$}, а для низких $-$ «разрыв» и сигнала на \textit{U${}_{out}$} нет.

Для анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) цепей с сосредоточенными параметрами удобно воспользоваться формализмом комплексных сопротивлений. В этом случае импедансы будут равны: резистора $Z_{R} =R$, емкости $Z_{C} ={1 \mathord{\left/{\vphantom{1 i\omega \, C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} i\omega \, C} $ и индуктивности $Z_{L} =i\omega \, L$ ($i$–~мнимая единица). В справедливости этих выражений можно убедиться, если считать, что $I\left(t\right)=I\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,}$U\left(t\right)=U\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,} $\exp \left(i\omega \, t\right)=\cos \left(\omega \, t\right)+i\cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ (см. раздел 2.1), тогда

$U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t){\kern 1pt} dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right)$ (СИ),

$U_{L} (t)=L\frac{dI}{dt} =i\omega L{\kern 1pt} I(t)$ (СИ).

\noindent Заметим, что вышеприведенные формулы написаны в системе СИ. В системе СГС их эквиваленты будут выглядеть как

$U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t){\kern 1pt} dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right)$ (СГС),

$U_{L} (t)=\frac{L}{c^{2} } \frac{dI}{dt} =\frac{i\omega L}{c^{2} } {\kern 1pt} I(t)$ (СГС),

\noindent где c~=~3$.$10${}^{10}$ см/c $-$ скорость света в вакууме.

Закон Ома для комплексных величин записывается в привычном виде. Поэтому фильтр низких частот, или ФНЧ (рис. 14), может быть представлен как простой делитель напряжения, но на частотно-зависимых резисторах. Тогда сигнал на выходе мы можем записать как \[U_{2KE} =\frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} =\frac{1}{1+i\omega RC} U_{2E} =T(\omega )U_{2E} . \] \includegraphics*[width=1.04in, height=0.80in, keepaspectratio=false]{image43} \includegraphics*[width=2.60in, height=2.24in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image44}

\noindent \textit{Рис. 14.} Схема фильтра низких частот и его амплитудно-частотная характеристика

\includegraphics*[width=1.09in, height=0.75in, keepaspectratio=false]{image45} \includegraphics*[width=2.62in, height=2.25in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image46}

\noindent \textit{Рис. 15.} Схема фильтра высоких частот и его амплитудно-частотная характеристика

Основной характеристикой четырехполюсников в качестве фильтров является передаточная функция \textit{Т = U${}_{\textrm{в}\textrm{ы}\textrm{х}}$/U${}_{\textrm{в}\textrm{х}}$}. Комплексную передаточную функцию \textit{T($\omega$)}~=~$\mid$T($\omega$)$\mid$$.$\textit{exp(i$\varphi$($\omega$))} можно трактовать следующим образом. Амплитуда передаточной функции $\mid$T($\omega$)$\mid$ описывает изменение выходного сигнала по амплитуде. Фазовая функция \textit{$\varphi$($\omega$) }описывает сдвиг фаз между входным и выходным сигналами. Эти две функции $\mid$T($\omega$)$\mid$и \textit{$\varphi$($\omega$)} полностью описывают действие нашей схемы. Разлагая входной сигнал на отдельные гармонические составляющие, подвергая их действию передаточной функции \textit{T}($\omega$) и суммируя эти гармоники, мы получим выходной сигнал.

Для ФНЧ (или интегрирующей цепочки) передаточная функция \[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} } } \] изображена на рис. 14.

Для фильтра высоких частот (или дифференцирующей цепочки) все рассуждения полностью аналогичны: \[U_{2KE} =\frac{Z_{R} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} =\frac{i\omega RC}{1+i\omega RC} U_{2E} , \] а передаточная функция есть \[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)}{\sqrt{1+\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} } } . \]

Схема фильтра ФВЧ и его передаточная функция изображены на рис. 15.

Полосовой фильтр является последовательной комбинацией фильтров низких и высоких частот. После несложных, но громоздких выкладок можно найти его передаточную функцию: \[U_{2KE} =\frac{Y_{o} }{Y_{0} +Z_{C} } \cdot \frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} , \] \[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)}{\sqrt{1+7\cdot \left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} +\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{4} } } , \] где $Y_{0} =\frac{R\left(1+i\omega {\kern 1pt} RC\right)}{1+2i\omega {\kern 1pt} RC} $.

Схема полосового фильтра и его передаточная функция показаны на рис. 16.

\noindent \includegraphics*[width=1.09in, height=0.74in, keepaspectratio=false]{image47} \includegraphics*[width=2.58in, height=2.24in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image48}

\noindent \textit{Рис. 16.} Схема полосового фильтра и его амплитудно-частотная характеристика

\noindent \includegraphics*[width=1.32in, height=0.95in, keepaspectratio=false]{image49} \includegraphics*[width=2.56in, height=2.23in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.14in 0.14in 0.14in]{image50}

\noindent \textit{Рис. 17.} Фильтр на основе резонансного контура и его амплитудно-частотная характеристика

В качестве полосового и заградительного фильтров часто используют схемы на основе резонансных контуров. Использование в фильтрах конденсаторов в сочетании с индуктивностями позволяет сильно «заострить» частотную характеристику схемы по сравнению с пологими характеристиками \textit{RC- } и \textit{RL-} схем.

Например, для схемы, изображенной на рис. 17, импеданс резонансного контура равен \[Z_{LC} =\sqrt{\frac{L}{C} } {\kern 1pt} \frac{1}{LC\, \sqrt{\left(\omega ^{2} -\frac{1}{LC} \right)^{2} +\omega ^{2} \frac{r^{2} }{L^{2} } } } , \] и можно получить полуширину резонансной кривой фильтра порядка $\frac{\Delta \omega }{\omega _{0} } \approx \frac{r}{2} {\kern 1pt} \sqrt{\frac{C}{L} } $ при $\omega _{0} L>>r$. На рис. 17, справа, показана передаточная функция для следующих параметров: \textit{L}~=~100 мкГн, \textit{C}~=~100 нФ, \textit{R}~=~5 кОм, \textit{r}~=~1 и 10 Ом.