Емкость, индуктивность и омическое сопротивление присущи в той или иной мере практически любому объекту, с которым мы сталкиваемся в быту или в физической лаборатории. Так, тоненький проводок, кроме сопротивления, обладает еще и конечной индуктивностью, поэтому два объекта, соединенные им, не обязательно будут иметь одинаковый потенциал, если процесс протекает достаточно быстро. Обычный коаксиальный кабель имеет емкость, поэтому, если он использовался для передачи высокого напряжения, нас может ощутимо «стукнуть током» при работе с ним даже после отсоединения от источника напряжения. Конструкция конденсатора обладает небольшой, но все–таки индуктивностью. Вследствие этого время его разрядки на нагрузку с бесконечно малым сопротивлением все равно остается конечным.

Как правило, в большинстве случаев только одно из вышеперечисленных свойств является наиболее важным. Поэтому в электрических схемах при теоретическом анализе реальные материальные элементы схем мы представляем в виде их эквивалентных идеальных элементов — сопротивления $R,$ емкости $C$ и индуктивности $L$ соответственно. А в тех случаях, когда важно учесть и другие свойства «деталей», мы представляем их более сложными эквивалентными схемами из «набора» идеальных элементов. Иногда к нему добавляют взаимоиндуктивность $M,$ которая позволяет передавать электрические сигналы между различными участками схемы через общий магнитный поток. А для описания активных линейных цепей набор пополняют идеальными источниками эдс (напряжения) $Е$ и тока $I.$

Сопротивление — это наиболее простое устройство, для которого коэффициент линейной связи между током и напряжением не зависит от частоты протекающего тока:

Основной параметр резисторов — сопротивление $R.$ Оно определяет соотношение между током и напряжением в соответствии с законом Ома $$ U_{0} =I_{0} R . $$

Сопротивление измеряется в Омах (СИ) или в единицах сопротивления СГС (нет специального названия, размерность $\frac{с}{см}).$

Резисторы бывают постоянные и переменные (регулируемые). Наибольшее распространение имеют металлизированные и проволочные резисторы: в первом случае на керамическую трубочку нанесен металлизированный слой из высокоомных сплавов, толщина которого обеспечивает нужную величину $R,$ во втором — на трубочку намотана тонкая проволока. Проволочные резисторы позволяют рассеивать большую мощность. На высоких частотах начинает сказываться собственная емкость и индуктивность элементов конструкции резистора и он должен быть представлен эквивалентной схемой из комбинации идеальных элементов $R, L$ и $С.$ Например, индуктивность проволочных (намотанных проводом) резисторов начинает сказываться уже на сравнительно низких частотах. Для очень высокоомных металлизированных резисторов, наоборот, на высоких частотах важной становится емкость между выводами резистора.

Конденсатор — это устройство, способное накапливать электрический заряд. Величина накопленного заряда пропорциональна емкости конденсатора $С,$ зависящей от конкретной его конструкции. Связь между напряжением $U$, зарядом $Q$ и емкостью $C$ выражается следующим соотношением: $$ Q=CU \ \ \mbox{ (СИ, СГС). } $$ Дифференцируя это соотношение по времени, получаем линейную связь между током и напряжением в цепи с емкостью: $$ I=C\frac{dU}{dt} \ \ \mbox{ (СИ, СГС),} $$ т.е. через идеальный заряженный конденсатор ($U=const$) постоянный ток не течет и его сопротивление бесконечно, если же конденсатор разряжен и ток в цепи не ограничен внешними элементами, то в начальный момент времени сопротивление конденсатора переменному току может быть очень мало ($\frac{dU}{dt} \to \infty $).

Промышленность выпускает конденсаторы разнообразных форм и размеров. Простейший конденсатор состоит из двух параллельных проводящих пластин площадью $S$, расположенных на небольшом расстоянии $d$ друг от друга. Его емкость $$ C=\varepsilon \varepsilon _{0} \frac{S}{d} \ \ \mbox{ (СИ), } \ \ \ C=\frac{\varepsilon }{4\, \pi } \frac{S}{d} \ \ \mbox{ (СГС),} $$ где $\varepsilon _{0} $ — диэлектрическая постоянная, $\varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами.

Чтобы получить большую емкость, необходимы большая площадь и малый зазор между проводниками, обычно для этого один из проводников покрывают тонким слоем изолирующего материала, называемого диэлектриком; для таких конденсаторов используют металлизированные пленки. Широкое распространение получили следующие типы конденсаторов: керамические, электролитические (изготовленные из металлической фольги с оксидной пленкой в качестве изолятора), слюдяные (изготовленные из металлизированной слюды). Каждому типу конденсаторов присущи свои качества, для анализа которых нужно обратиться к специализированным справочникам.

В цепях переменного (синусоидального) тока $U=U_{0} \exp \left(i\omega t\right)$, $I=I_{0} \exp \left(i\omega t\right)$, из уравнения $I=C\frac{dU}{dt} $ получаем $$ U_{0} =\frac{I_{0} }{i\omega C} =Z_{C} I_{0} \ \ \mbox{ (СИ, СГС), } $$ и конденсатор может быть рассмотрен как частотно-зависимый резистор с сопротивлением $$ Z_{C} =\frac{1}{i\omega C} \equiv - \frac{i}{\omega C} \ \ \mbox{ (СИ, СГС). } $$ В отличие от обычного резистора сопротивление, или импеданс, конденсатора имеет комплексное значение. Это означает, что ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе на угол $\frac{\pi}2 $. Т.е. сначала максимальным значением тока происходит зарядка разряженного конденсатора. Затем по мере роста заряда и напряжения на конденсаторе ток уменьшается. Значение амплитуды тока, протекающего через конденсатор, равно $$ I_{0} =\frac{U_{0} }{Z_{C} } \ \ \mbox{ (СИ, СГС). } $$ Единицей измерения емкости в СИ является фарада (Ф) и ее производные (дольные): 1 Ф = 10${}^{-12}$ пкФ (пикофарад) = 10${}^{-9}$ нФ (нанофарад) = 10${}^{-6}$ мкФ (микрофарад). В системе СГС единицей емкости служит сантиметр, переводный множитель: 1 см $\approx 0,9 $ пФ.

Измерение емкости в [см] имеет простой физический смысл: способность тела накапливать электрический заряд пропорциональна его размерам, поэтому характерный размер тела и есть его емкость.

Емкость параллельно соединенных конденсаторов равна их сумме $C=C_{0} +C_{1} +\ldots $, а емкость последовательно соединенных конденсаторов вычисляется по формуле $\frac{1}{C} =\frac{1}{C_{0} } +\frac{1}{C_{1} } +\ldots $.

Катушка индуктивности — это компонент электрической цепи, способный создавать (накапливать) магнитный поток при протекании по нему тока. Основной параметр катушки индуктивности — индуктивность $L.$ Он задает следующую связь между напряжением $U$ и током $I$ $$ U=L\frac{dI}{dt} \ \ \mbox{ (СИ), } \ \ \ U=\frac{1}{c^{2} } L\frac{dI}{dt} \ \ \mbox{ (СГС). } $$ Если ток в цепи, содержащей индуктивность, не меняется ($I=const$), то ее сопротивление близко к нулю и, наоборот, при резком изменении тока ($\frac{dI}{dt} \rightarrow \infty$) ее сопротивление очень велико.

В цепях переменного (синусоидального) тока импеданс индуктивности равен $$ Z_{L} =i\omega L \ \ \mbox{ (СИ), } \ \ \ Z_{L} =\frac{1}{c^{2} } i\omega L \ \ \mbox{ (СГС), } $$ и падение напряжения на этом элементе при протекании по нему тока равно: $$ U_{0} =I_{0} Z_{L} . $$

Ток и напряжение на индуктивности сдвинуты по фазе на угол $-\frac{\pi}2$. Т.е. сначала максимальным значением напряжения происходит увеличение тока протекающего через индуктивность. Энергия запасается в магнитном потоке. Затем по мере роста тока напряжение на индуктивности уменьшается.

При последовательном соединении общая индуктивность равна их сумме $L=L_{0} +L_{1} +\ldots $ , а при параллельном соединении определяется по формуле $\frac{1}{L} =\frac{1}{L_{0} } +\frac{1}{L_{1} } +\ldots $ .

Индуктивность измеряется в Генри (СИ) или в см (СГС).

Простейшая индуктивность представляет собой соленоид длины $l$, содержащий $N$, намотанный на сердечник диаметра $d$. Ее индуктивность в случае $l\gg d$ равна $$ L=\frac{\mu \pi ^{2} N^{2} d^{2} }{l} \ \ \mbox{ (СГС),} \ \ \ L=\frac{\mu \, \mu _{0} \, \pi \, N^{2} d^{2} }{4\, l} \ \ \mbox{ (СИ). } $$

Более совершенные конструкции включают сердечник, на который наматывается провод. Материалом для сердечника чаще всего служит железо (пластинки, прокатанные из сплавов железа или изготовленные методами порошковой металлургии) или феррит, представляющий собой хрупкий непроводящий магнитный материал черного цвета. Сердечник позволяет увеличить индуктивность катушки за счет магнитных свойств материала сердечника. Сердечник может быть изготовлен в виде бруска, тора или иметь какую-нибудь более причудливую форму.

К неидеальности катушек индуктивности приводят

1. наличие сопротивления провода, из которого намотана катушка,
2. относительно большие потери в сердечниках,
3. межвитковая емкость.

Если две катушки размещены на одном сердечнике или находятся близко друг от друга, то их магнитные поля пересекаются. Такое устройство называется магнитосвязанными катушками или идеальным трансформатором и служит для передачи переменных сигналов из одной катушки в другую без гальванической связи между ними. Основной параметр магнитосвязанных катушек — взаимоиндуктивность (иначе — коэффициент взаимоиндукции) $L_{12} = \sqrt{L_1 L_2}$. Для идеального трансформатора эта величина выражается через количество витков катушек $\frac{n_1}{n_2}$ и называется коэффициентом трансформации.

Реальные источники тока и напряжения (блоки питания, генераторы сигналов, различные датчики электрических сигналов) представляют собой сложные устройства, характеризующиеся набором специфических параметров и характеристик. В электрических цепях и при теоретических расчетах мы отображаем их эквивалентными схемами, основой которых является эквивалентные источники напряжения и тока. Точно так же, как мы отличаем реальные резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности от их идеальных эквивалентных элементов $R, C$ и $L,$ необходимо отличать и реальные источники тока и напряжения от их идеальных эквивалентных схем.

Эквивалентный источник напряжения тока состоит из двух идеальных элементов — идеального источника (генератора) напряжения тока и внутреннего сопротивления (рис. 1). Идеальный генератор (источник) напряжения — это элемент электрической цепи, разность потенциалов (напряжение) $U=\varphi _{2} -\varphi _{1} $ между выводами которого задано и не зависит от внешних условий, в том числе и от протекающего по генератору току. Это эквивалентно утверждению, что внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю, а напряжение может быть задано либо как константа, либо в виде нужной функции времени. Идеальный генератор напряжения является физической абстракцией, то есть реально подобное устройство нельзя осуществить. Например, при подключении нагрузки, сопротивление которой стремится к нулю, ток, протекающий через генератор напряжения, стремился бы к бесконечности, что нереализуемо.

Идеальный генератор (источник) тока — это элемент электрической цепи, для которого сила тока задана и не зависит от внешних условий. Ток может быть задан как константа или как функция времени. Идеальный генератор тока также является физической абстракцией. Если допустить его существование, то при заданной величине тока напряжение между выводами такого элемента стремилось бы к бесконечности при подключении нагрузки, сопротивление которой очень велико. Например, отключение нагрузки эквивалентно тому, что $R_н = \infty$ и напряжение на выводах идеального источника тока должно стать $U = \infty ,$ что физически нелепо. Такого «конфуза» не происходит с идеальным источником напряжения, поэтому в схемах предпочтительно «работать» с идеальным источником напряжения, а не тока.

В теории линейных электрических цепей есть теорема Гельмгольца — Тевенина, согласно которой для анализа тока и напряжения на любом двухполюсном элементе цепи $R_{н} $ всю остальную часть схемы можно представить в виде эквивалентного источника сигнала, состоящего из идеального источника напряжения $E$ и внутреннего сопротивления $R_{i} $ (рис. 1, а).

В соответствии с другой теоремой любой источник напряжения можно представить в виде эквивалентного ему источника тока, состоящего из идеального источника тока $I'=\frac{E}{R_i}$ и того же самого внутреннего сопротивления $R_{i} $ (рис. 1, б). Сами по себе идеальные источники $E$ и $I'$ смысла не имеют: смысл имеет только весь эквивалентный источник (напряжения или тока), состоящий из двух элементов — идеального источника и его внутреннего сопротивления. То есть элементы, окруженные на рис. 1 пунктирной линией, должны восприниматься как единый эквивалентный источник напряжения или тока соответственно. Это важно помнить в связи с тем, что на эквивалентные источники напряжения (тока) часто ошибочно переносят свойства их идеальных компонентов $E(I').$ Следует запомнить, что эквивалентные источники напряжения (тока) призваны заменить реальные источники, а потому сами по себе идеальными источниками напряжения (тока) не являются!

На практике часто важно иметь такой источник электрической энергии (будь то источник сигнала или питания), который был бы способен поддерживать стабильное напряжение (ток) при изменении нагрузки в заданных пределах. Такие источники называются источниками стабильного напряжения (тока). Характеристики работы схемы, показанной на рис. 1, полностью определяются отношением $\frac{R_н}{R_i}.$

1. При $R_{н}\gg R_i$ (рис. 1, а) напряжение на нагрузке близко к величине $E$ и слабо зависит от величины нагрузки, т.е. источник является генератором стабильного напряжения. Действительно, в этом случае $U_{н} =E-I\cdot R_{i}$, а $I=\frac{E}{R_i +R_н} \approx \frac{E}{R_н}$, т.е. $U_н =E(1-\frac{R_i}{R_н})\approx E.$ Неидеальность генератора напряжения можно определить отношением изменения выходного напряжения к эдс: $\Delta U_{н} =E-U_{н},$ где $\frac{\Delta U_н}{E}=\frac{R_i}{R_н}.$
2. При $R_н \ll R_i$ источник сигналов является генератором стабильной величины тока нагрузки с погрешностью $\frac{\Delta I}{I} =\frac{R_i}{R_н}.$ Доказательство проводится аналогично предыдущему. Источник выдает в нагрузку ток, близкий к максимально возможному для него $I_{н}= \frac{E}{R_i}.$
3. При $0,1\cdot R_{i} \le R_н \le 10\cdot R_{i}$ источник не является ни стабилизатором напряжения, ни стабилизатором тока. При изменении нагрузки одновременно изменяется как ток через нее, так и напряжение на ней.

Замещение источника напряжения источником тока не является тождественным, а только эквивалентным в определенных отношениях. Рассмотрим, в чем проявляется эквивалентность замещения.

Источник напряжения (рис. 1, а) обеспечивает один и тот же ток $I=\frac{E}{R_i +R_н} $ через $R_{i} $ и $R_{н} $ и напряжение на нагрузке $U_{н} = I\cdot R_{н} $. В свою очередь, источник тока (рис. 1, б) обеспечивает неизменную величину тока $I'=\frac{E}{R_i},$ который разветвляется на два тока: ток $I_i$, текущий через внутреннее сопротивление $R_{i} $, и ток $I_{н} $, текущий через нагрузку $R_{н} $, причем $I'=I_{i} +I_{н}$, а отношение токов обратно пропорционально отношению сопротивлений. Эквивалентность источников состоит в трех утверждениях.

1. Ток в нагрузке в обеих схемах одинаков. Действительно, ток в схеме источника напряжения $I_{н} =I=\frac{E}{R_i +R_н},$ а ток в схеме источника тока можно определить, воспользовавшись тем, что токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей $\frac{I_н}{I_i}=\frac{R_i}{R_н}.$ Учитывая соотношения $I'=I_{i} +I_{н}$ и $I'=\frac{E}{R_i},$ получим для тока нагрузки схемы рис. 1, а то же соотношение $I_{н} =\frac{E}{R_{i} +R_н},$ что и для схемы рис. 1, б.
2. Напряжение на нагрузках в обеих схемах одинаково $U_{н} =U_{н}',$ что следует из равенства токов в нагрузках для обеих схем и закона Ома.
3. Мощность, выделяемая на нагрузке, в обеих схемах одинакова, что следует из того, что мощность равна произведению тока на напряжение, а токи и напряжения на $R_н$ в обеих схемах одинаковы.

Однако эквивалентность такой замены источников не является полной по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, если в отношении нагрузки обе схемы ведут себя совершенно одинаково (одинаковы токи, напряжения и выделяемая на нагрузке мощность), то этого нельзя сказать о самих источниках. Мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении самих эквивалентных источников тока и напряжения, различна. Действительно, сами внутренние сопротивления эквивалентных источников одинаковы, но токи, текущие через них, различны. В источнике напряжения $I_{i} =I_{н} =I=\frac{E}{R_i +R_н}.$ В источнике тока $$ I_{i} =I'-I_{н} =\frac{E}{R_{i} } -\frac{E}{R_{i} +R_{н} } =\frac{E}{R_{i} +R_{н} } \cdot \frac{R_{н} }{R_{i} } =I_{н} \frac{R_{н} }{R_{i} } . $$ Таким образом, в зависимости от отношения $\frac{R_н}{R_i} $ мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении эквивалентных источников напряжения и тока, получается различной, а потому представление об эквивалентных источниках напряжения и тока нельзя применять для анализа мощности в цепи самих реальных источников.

Второе ограничение связано с тем, что с внутренним сопротивлением эквивалентного источника тока $R_{i} $ в расчетах нельзя поступать так, как если бы оно представляло собой сопротивление обыкновенного резистора. Нельзя, например, всю нагрузку $R_{н} $ или ее часть «переносить» во внутреннее сопротивление источника тока, подсчитав новое сопротивление по закону сложения параллельных сопротивлений $R_{i}' =\frac{R_н R_i}{R_i +R_н}.$

Наиболее очевидна ошибочность такого решения в случае, когда нагрузка представляет собой комплексное сопротивление, например, показанное на рис. 2,а. Перенос части нагрузки в $R_{i}' $, показанный на рис. 2,б, во–первых, изменяет фазу нового тока нагрузки $I_н'$ по отношению к фазе тока источника, чего делать нельзя, так как эквивалентный источник тока по определению должен обеспечивать те же самые напряжения и токи на нагрузке, что и замещаемый им реальный источник. Если в нагрузке на рис. 2,а происходят омические потери, вызванные протеканием тока по $R_н,$ то новая нагрузка представляет собой чисто реактивное сопротивление, не имеющее омических потерь. Это меняет энергетические соотношения в рассматриваемой схеме. Таким образом, схема на рис. 2,б ни в отношении величины тока нагрузки, ни в отношении фазы этого тока, ни в отношении расчета мощности в нагрузке не является эквивалентной схеме на рис. 2,а.

Итак, никакую часть нагрузки — ни активную, ни реактивную — нельзя переносить («суммировать») во внутреннее сопротивление эквивалентного источника тока, поскольку новый источник тока уже не будет эквивалентен исходному источнику напряжения (генератору) не только по мощности, но и по другим параметрам.

На практике невозможно получить идеальный элемент цепи, сопротивление которого являлось бы только активным или только индуктивным, или только емкостным. Катушка индуктивности обладает активным сопротивлением, так как ее обмотка выполнена из проводника с конечной проводимостью. Как всякое металлическое тело, она обладает и емкостью. Конденсатор имеет некоторую индуктивность, так как состоит из отдельных проводников, перемещение зарядов по которым вызывает появление магнитного поля. Потери в диэлектрике конденсатора вызывают его нагревание и, следовательно, являются необратимыми потерями, как и в активном сопротивлении. Даже простой отрезок провода, кроме активного сопротивления, имеет и индуктивное, и емкостное.

Исследовать прохождение тока в таких сложных элементах цепи, конечно, неудобно. Однако практически часто используются такие элементы, в которых сопротивление одного из перечисленных видов имеет преобладающее значение, а двумя другими видами можно без ущерба для требуемой точности исследования пренебречь. Тогда рассматриваемый элемент цепи можно заменить идеализированным, обладающим только индуктивностью или только емкостью, или только активным сопротивлением.

В тех же случаях, когда по тем или иным причинам такое упрощение недопустимо, прибегают к замене реального элемента эквивалентной цепью, состоящей из нескольких идеализированных элементов. Таким образом, например, конденсатор с потерями и катушка индуктивности с заметной величиной активного сопротивления проводников могут быть заменены схемами, изображенными на рис. 3.

Применение эквивалентных цепей значительно облегчает изучение процессов в электрических схемах. При этом можно ограничиться изучением свойств только трех идеализированных элементов $R, L$ и $С,$ а все остальные случаи рассматривать как их комбинации.