Если поместить проводник в стационарное магнитное поле, то за очень короткое время во всем пространстве, включая проводник, вновь возникнет стационарное магнитное поле, в той или иной мере измененное из–за присутствия проводника. Степень изменения поля зависит от типа проводника (парамагнетик, диамагнетик или ферромагнетик) и его геометрии. При этом ток проводимости внутри проводника не течет. Проводник во внешнем стационарном электрическом поле поляризуется, т.е. некоторая часть свободных электронов проводника распределяется по его поверхности таким образом, чтобы полностью скомпенсировать внутри его внешнее поле. Ток в этом случае также не течет.

Здесь мы будем рассматривать проводники из неферромагнитных материалов. В этом случае магнитная проницаемость (в системе СГС) близка к единице, и в большинстве лабораторных работ данного выпуска мы будем пренебрегать ее отличием от единицы. Отличие $\mu $ от единицы будет играть роль при обсуждении энерговыделения в проводнике в работе 6.2.

Если к проводнику приложить и поддерживать разность потенциалов, то в нем возникает стационарный ток проводимости. Свободные заряды располагаются только на поверхности проводника (а также в областях неоднородности проводника, если таковые имеются), но их распределение отличается от электростатического случая [1. c.176]. Стационарный ток может течь по всему объему проводника. Рассмотрим длинный прямой провод (рис. 1), к концам которого приложено постоянное напряжение $U.$ По проводнику течет постоянный электрический ток $I.$

Покажем, что в этом случае напряженность электрического поля в проводнике однородна по сечению провода. Для доказательства проведем параллельный оси провода замкнутый прямоугольный контур $L.$ Здесь и далее мы используем в качестве основной гауссову систему единиц, приводя для наиболее важных выражений также их вид в системе СИ. Сопоставление всех формул электродинамики для этих двух систем приведено в [1. C. 668]).

Вспомним, что постоянный ток создает линейно нарастающее по радиусу, но постоянное во времени $(\frac{\partial \vec B}{\partial t}=0)$ азимутальное магнитное поле $B =\frac{2J}{cr}$ (или в системе СИ: $(B =\frac{\mu_0 J}{2\pi r}).$ Из теоремы о циркуляции электрического поля [1. С. 271] $$ \oint \limits_{L} \vec E \ d\vec l = - \frac 1c \int \limits_S \frac{\partial \vec B}{\partial t} \ d\vec S $$ где $L$ — периметр контура, а $S$ — охватываемая им площадь, сразу следует, что электродвижущая сила (э.д.с.), выражаемая интегралом в левой части уравнения, равна нулю. Это заключение сохраняется при любом перемещении контура и при изменении его размеров, что доказывает сделанное выше утверждение.

Ситуация меняется, если к проводнику приложить переменное напряжение. Из уравнений Максвелла $$ \mbox{rot} \vec E = - \frac{\partial \vec B}{c\partial t}, \ \ \ \mbox{rot} \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j + \frac{\partial \vec D}{c\partial t} \ \ \ \ \ (3) $$ следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого магнитного поля и наоборот. Для рассматриваемого нами случая электромагнитного поля внутри проводника первый член в правой части последнего выражения практически во всех реальных ситуациях значительно больше второго ¹⁾ $$ \frac{4\pi}{c}\vec j \gg \frac{\partial \vec D}{c\partial t}. $$ Тогда уравнение упрощается и можно считать, что $$ \mbox{rot} \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j . $$

В этом приближении в рассматриваемой нами задаче вихревое электрическое поле создается изменением магнитного поля, а вихревое магнитное поле создается только вихревыми токами (токами Фуко), текущими по проводнику: $$ \vec j=\sigma \vec E. $$ Очевидно, что током смещения можно пренебречь лишь при достаточно высокой проводимости среды $\sigma .$

Поскольку магнитный поток через контур $L$ (см. рис. 1) теперь изменяется со временем, то циркуляция напряженности электрического поля $\vec E$ по этому контуру будет отличаться от нуля. Используя правило, по которому определяется направление циркуляции, находим, что при возрастании магнитного потока направление индуцированного электрического поля будет таким, как это изображено на контуре стрелками, а значит, что индуцированное электрическое поле будет ослаблять исходное поле вблизи оси и увеличивать его на периферии провода.

Из этого качественного описания электромагнитной индукции для переменного тока в проводе ясно, почему переменное электромагнитное поле не проникает внутрь проводников, а сосредоточивается вблизи поверхности (см. также [1. c. 648]). Слой, в котором сосредоточено поле, называют скин-слоем (от англ skin — кожа), а эффект вытеснения поля на поверхность проводника — скин–эффектом. Этот эффект существует не только в том случае, когда к концам проводника приложена разность потенциалов, но и тогда, когда проводник находится в созданном любым способом внешнем переменном электромагнитном поле.

Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника, получают из уравнений Максвелла [2. c.258]. Они имеют следующий вид: $$ \Delta \vec E=\frac{4\pi \sigma \mu }{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t}, \ \ \ \ \ (7) $$ $$ \Delta \vec H=\frac{4\pi \sigma \mu }{c^2}\frac{\partial \vec H}{\partial t}, \ \ \ \ \ (8) $$ Задавая внешнее электромагнитное поле на границе проводника, из этих уравнений можно найти распределение поля в проводнике. В случае проводника с током это — поле $E_z,$ а для цилиндра в соленоиде это будет полем $H_z.$ Индуцированные поля будут в этих случаях $H_{\varphi }$ и $E_{\varphi },$ соответственно. Если толщина скин-слоя сравнима с радиусом цилиндра, то решение уравнений будет выражаться некоторой специальной функцией — функцией Бесселя [3. c. 777]. Если же толщина скин–слоя значительно меньше, чем характерные размеры проводника (сильный скин–эффект), то задачу о проникновении поля в проводник можно свести к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается. Теория скин–эффекта для конкретных систем более детально рассмотрена в теоретических введениях к следующим двум работам.

Из сказанного выше ясно, что переменное магнитное поле индуцирует в проводнике вихревые токи, которые называются токами Фуко. Это токи играют важную роль в электротехнике. Их изучению посвящены, в частности, вторая и третья лабораторные работы данного выпуска.

Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле²⁾, меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega :$ $$ H_z(t)=H_0 \exp(-i\omega t) $$ Введем ось $x,$ направленную по нормали внутрь проводника (в случае цилиндра она направлена противоположно радиусу), и будем искать решение в виде $$ H_z(x,t)=H_z(x) \exp(-i\omega t) $$

Тогда уравнение (8) примет вид: $$ \frac{d^2 H_z}{dx^2}=-\frac{2i}{\delta ^2}H_z \ \ \ \ \ (11) $$ где $$ \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \mu \omega}} \ \ \ \ \ (12) $$ а $\mu $ — магнитная проницаемость проводника. Решением уравнения (11) будет выражение $$ H_z(x,t)=H_0 \exp(-\frac{x}{\delta }) \exp \left(i(\frac{x}{\delta }-\omega t) \right)\ \ \ \ \ (13) $$ Оно означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает, а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Очевидно, что выражение (12), определяющее характерный масштаб ослабления поля в e раз, представляет собой толщину скинслоя.

Электрическое поле, индуцированное в проводнике, можно найти, используя выражения (3) и (6), откуда получаем c $$ \vec E = \frac{c}{4\pi \sigma } \mbox{rot} \vec H . \ \ \ \ \ (14) $$ Подставляя сюда решение (13), находим, что электрическое поле в “плоском” проводнике имеет только составляющую $$ E_y = (i -1)\sqrt{\frac{\omega \mu }{8\pi \sigma }} H_z , \ \ \ \ \ (15) $$ перпендикулярную $x$ и $z$ и спадающую вглубь проводника с той же постоянной $\delta ,$ что и магнитное поле. В случае цилиндра это означает, что силовые линии электрического поля $E_y\equiv E_{\varphi }$ замыкаются по окружности вокруг оси.

Экранирующие свойства проводника широко используются на практике для защиты приборов и устройств от переменных и импульсных магнитных и электрических полей, поэтому важно правильно понимать это явление. При анализе выражения (13) часто утверждается, что замкнутый пустотелый проводник эффективно экранирует переменное внешнее поле лишь при высоких частотах $\omega ,$ для которых толщина скин–слоя значительно меньше толщины стенки: $\delta \ll h.$ Это утверждение ошибочно, поскольку $\delta $ является не единственным параметром, определяющим ослабление поля в пустотелых проводниках. Действительно, при выводе выражений (13) и (14) с самого начала предполагалось, что $\delta \ll h.$ В этом случае из решения выпадает такой параметр как радиус цилиндра $R.$

Решение для произвольного соотношения $\delta , h $ и $R$ выражается специальными функциями и не очень удобно для простого анализа, поэтому для выяснения роли размеров цилиндра рассмотрим другой предельный случай: $$ \delta \gg h \ \mbox{ и } \ h \ll R . \ \ \ \ \ (16) $$ Первое из этих условий означает (см. рис. 2), что индуцированное электрическое поле $E_{\varphi }$ и зависящая от него плотность тока $j =\sigma E_{\varphi }$ в стенке цилиндра практически однородны и полный азимутальный ток на единицу длины цилиндра равен $J =\sigma E_{\varphi } h.$ Тогда циркуляцию магнитного поля по контуру $L$ с учетом направления индуцированного тока можно записать таким образом: $$ H_0-H_1 =-\frac {4\pi }{c} \sigma E_{\varphi }, \ \ \ \ \ (17) $$ где $H_0$ и $H_1$ — амплитуды магнитного поля снаружи и внутри цилиндра.

Поскольку из второго условия (16) следует, что сечение стенки цилиндра значительно меньше сечения полости, то можно пренебречь магнитным потоком в стенке и записать теорему о циркуляции для электрического поля в виде: $$ E_{\varphi} \cdot 2\pi R = - \frac 1c \frac{d\Phi}{dt}=i\omega \frac{\pi R^2}{c}H_1, \ \ \ \ \ (18) $$ где $\Phi $ — магнитный поток внутри цилиндра. Подставляя (18) в (17), найдем выражение для амплитуды переменного магнитного поля внутри цилиндра: $$ H_1=H_0 (1-\frac{ihR}{\delta ^2})^{-1}. \ \ \ \ \ (19) $$ Преобразовав выражение (18) в экспоненциальную форму, получим для поля внутри цилиндра выражение $$ H_1 = \frac{H_0}{\sqrt{1+\frac{h^2R^2}{\delta ^4}}}\cdot \mbox{exp}(i\cdot \mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta ^2})). \ \ \ \ \ (20) $$ Это выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная величина $\frac{hR}{\delta ^2}$ является параметром подобия для задачи об экранировании поля при слабом скин–эффекте.

Из выражения (20) видно, что ослабление поля внутри цилиндра зависит не только от $\frac{\delta}{h},$ но и от величины отношения $\frac{\delta}{R}.$ Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется, если $\frac{h^2R^2}{\delta^4}\gg 1.$ Взяв корень четвертой степени от этого выражения, придем к очень слабому неравенству $$ \delta < \sqrt{hR}, \ \ \ \ \ (21) $$ являющемуся условием эффективного экранирования переменного поля тонкостенным проводником (достаточно, чтобы $\delta $ лишь в два раза было меньше правой части, чтобы условие работало). Аргумент функции (20) в этом случае также мал, и сдвиг фазы внутреннего поля по отношению к фазе внешнего поля незначителен. Выражение (20) справедливо вплоть до значений $\delta \sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым, и следует пользоваться выражением (13).

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Физматлит, 2002. Т. 3: Электричество.
2. Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1987. Ч. 1.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.
4. Е.Н. Розе, И.М. Марков. Теория и методы анализа градиентометрических измерений. Изучение глубинного строения земной коры и верхней мантии на акваториях морей и океанов электромагнитными методами. М., 1981. С. 85–91.
5. Семевский Р.Б., Аверкиев В.В., Яроцкий В.А. Специальная магнитометрия. — СПб.: Наука, 2002. — 228 с.
6. Hirota M., Furuse T., Ebana K. et al. Magnetic Detection of a Surface Ship by an Airbone LTS SQUID MAD, IEEE Transactions on applied superconductivity, 2001, v. 11, № 1, p. 884–887.
7. Короновский А А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 176 С.
8. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2004. — 280 С.
9. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Р, 2002. — 448 С.
10. Маслюк Л.Л. Дайджест вэйвлет–анализа, в двух формулах и 22 рисунках.
11. Князев Б. А., Черкасский В. С. Начала обработки экспериментальных данных. Новосибирск: НГУ, 1996.
12. Таблицы физических величин. Справочник. Под. ред. И. К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.
13. Вонсовский С. В. Магнетизм. М.: Наука: Физматлит, 1984.
14. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высш. Шк., 1990 — 352 С.
15. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1. Новосибирск: НГУ, 2003.
16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001.
17. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
18. Крафтмахер Я.А. Измерение электропроводности по фазовому углу эффективной магнитной восприимчивости. Новосибирск: АН СССР, Сибирское отделение, Институт неорганической химии. Препринт № 89 — 24, 1989
19. Лабораторный практикум “ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ”, Учебно-методическое пособие, ВЫПУСК 1, Новосибирск: НГУ, 2008.
20. Князев. Б. А., Котельников И. А., Тютин А. А., Черкасский .В. С. Торможение магнитного диполя, движущегося с произвольной скоростью в проводящей трубе, Успехи физических наук, 2006, Т. 176, № 9, p. 965–974.
21. Н.В. Короновский. Магнитное поле геологического прошлого Земли. Соросовский образовательный журнал. №6 (1996), с. 65–73.
22. К.У. Аллен. Астрофизические величины. М.: Мир, 1977.
23. D. O’Neill, Mathematical Modeling of the Magnetic Field of a Helmholtz Coil (Интернет-сайта автора).