Как известно, для корректного объяснения магнетизма требуется привлечение квантовой теории. И все же некоторые магнитные свойства веществ удалось объяснить Ланжевену еще в 1905 г. без использования квантовых представлений. Причина этого заключается в том, что в классических теориях намагничивания молчаливо вводились представления сугубо квантового характера. В частности, не объяснялось, а лишь предполагалось, что из электрически заряженных частиц можно построить устойчивые образования — атомы и молекулы. Объяснить не только намагничивание, но и устойчивость самих атомов удалось только с помощью квантовой механики. %Поскольку квантовую механику изучают после классической электродинамики, то ниже будут использоваться полуклассические представления.

Микротоки, циркулирующие в атомах и молекулах вещества, получили общее название молекулярных токов. Они обусловлены орбитальным движением электронов вокруг атомных ядер, а также спиновыми вращениями электронов, протонов и нейтронов, а следовательно, ядра, атомы и молекулы в принципе могут быть источниками магнетизма.

Внешнее магнитное поле оказывает влияние на эти молекулярные токи (магнитные моменты). Известны два основных эффекта внешнего поля. Во-первых, диамагнитный эффект, являющийся следствием закона индукции Фарадея. По правилу Ленца магнитное поле создает такой индукционный ток, магнитное поле которого направлено против начального поля. Поэтому создаваемый внешним полем диамагнитный момент отрицателен по отношению к этому полю. Во–вторых, если в атоме существует результирующий, отличный от нуля магнитный момент (спиновый, орбитальный или оба), то внешнее поле будет стремиться ориентировать этот собственный атомный магнитный момент вдоль своего направления. В результате возникает параллельный полю положительный момент, который называют парамагнитным.

Когда говорят, что среда в магнитном поле намагничивается, то подразумевают, что из–за молекулярных токов любой физически малый объем среды в магнитном поле приобретает магнитный момент. Следовательно, в создании магнитного поля в среде участвуют не только внешние источники, но и внутренние токи, циркулирующие в пределах атомов и молекул.

В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях векторы поля связаны друг с другом линейными соотношениями, причем у изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности: $$ \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}, \ \mathbf{M} = \chi \mathbf{H}, \ \mu = 1 + 4\pi\chi, $$ где $\mathbf{B}$ — вектор магнитной индукции, как правило, говорят, что это истинное магнитное поле; $\mathbf{H}$ — вектор напряжённости магнитного поля, который, как известно, является вспомогательным вектором; $\mathbf{M}$ — вектор намагниченности вещества, представляющий собой магнитный момент единицы объёма тела; $\mu $ — магнитная проницаемость; $\chi $ — магнитная восприимчивость вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с $\chi > 0$ называются парамагнетиками, вещества с $\chi < 0$ — диамагнетиками.

В парамагнетиках в отсутствие внешнего поля магнитные моменты атомов ориентированы в пространстве беспорядочно и вектор намагниченности равен нулю. При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты атомов начинают прецессировать и происходит переориентировка магнитных моментов в результате взаимодействия атомов между собой. При этом магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно в направлении поля и возникает намагниченность, вектор которой направлен по полю. Таким образом, ориентационный эффект магнитного поля приводит к положительной магнитной восприимчивости.

Атомы диамагнитных веществ не имеют постоянных магнитных моментов — у них спиновые и орбитальные магнитные моменты электронов сбалансированы так, что суммарный магнитный момент, приходящийся на один атом равен нулю. Но если такой атом поместить в магнитное поле, то будет иметь место эффект магнитной поляризации, т. е. в атоме индуцируется дополнительный магнитный момент, направленный в соответствии с принципом Ленца против поля. Таким образом, поляризационный эффект магнитного поля приводит к отрицательной магнитной восприимчивости. Так как причиной диамагнетизма является электромагнитная индукция, то он должен проявляться в явной или скрытой форме во всех материальных средах. В тех случаях, когда атомы вещества изначально обладают собственными магнитными моментами, диамагнитный эффект перекрывается значительно более сильным парамагнитным эффектом.

В случае гармонической зависимости от времени, поле $\mathbf{B}$ может быть представлено в комплексном виде ($\mathbf{B} = \mathbf{B}_0 e^{-i\omega t}$), а значит, $\mathbf{H}$ и $\mathbf{M}$ также являются комплексными величинами. Поэтому, вообще говоря, и коэффициент связи между ними $\chi$ (то же самое относится и к $\mu$) также должен рассматриваться как комплексное число: $\chi = \chi' + i\chi''$. У диамагнетиков и парамагнетиков магнитная проницаемость очень мало отличается от единицы, а поле в веществе $\mathbf{H}_i$ связано с внешним полем $\mathbf{H}_e$ линейно, намагниченность тела также линейно зависит от поля $\mathbf{M} = \beta \mathbf{H}_e. $ Безразмерный коэффициент $\beta$, называемый магнитной поляризуемостью, также является комплексной величиной: $\beta = \beta' + i\beta''$, это означает, что намагниченность не совпадает с внешним полем по фазе.

Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса $a$, помещенного в однородное переменное магнитное поле, параллельное оси цилиндра ($\mathbf{H}_e = H_0 e^{-i\omega t}$). Эту задачу можно решить исходя из уравнений Максвелла: \begin{equation}\label{rot-E} \mbox{rot}\mathbf{E}=-\frac 1c \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \ \ \ \ (1) \end{equation} \begin{equation}\label{rot-H} \mbox{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac 1c \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\approx \frac{4\pi}{c}\sigma\mathbf{E}. \ \ \ \ \ (2) \end{equation} В этой системе уравнений не учтён ток смещения, так как он мал по сравнению с током проводимости при $\omega \ll 4\pi\sigma/\varepsilon$. Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля $\omega$, велика по сравнению с размерами тела ($c/\omega \gg \ell $), период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического механизма проводимости ($1/\omega \ll \tau$, $\tau$ — время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле.

Будем искать магнитную поляризуемость методом последовательных приближений в случае слабого скин–эффекта, когда глубина проникновения поля \begin{equation}\label{delta} \delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }} \ \ \ \ \ (3) \end{equation} велика по сравнению с радиусом проводника — $\delta \gg a$.

В нулевом приближении можно считать, что магнитное поле внутри проводника постоянное и равно внешнему полю $\mathbf{H}_0=\mathbf{H}$. Следующим шагом, с помощью уравнения (1) вычислим электрическое поле $\mathbf{E}_0$, далее по формуле $\mathbf{j}_0=\sigma\mathbf{E}_0$, вычислим соответствующий ему ток. Затем в первом приближении вычислим поле в проводнике $\mathbf{H}_1$, создаваемое этим током. Далее повтор — вычислим $\mathbf{E}_1$, $\mathbf{j}_1$ и поляризуемость $\beta ,$ вычисляя магнитный момент, создаваемый этими токами, с помощью уравнения $$ \mathbf{M}=\frac{1}{2c}\int \mathbf{r}\times \mathbf{j}\ dV. $$ В данном случае $\mathbf{M}$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра.

Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля \begin{equation}\label{field-H} \mathbf{H} = (H_r,H_\phi,H_z) = (0,0,He^{-i\omega t}). \ \ \ \ \ (4) \end{equation} Используя дифференциальные операторы в цилиндрических координатах, произведём вычисления: $$ \mbox{rot}\mathbf{E} =\frac{1}{r}\frac{\partial(rE_{\phi})}{\partial r} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{i\omega}{c}H_{z} \Rightarrow $$ \begin{equation}\label{p0} E_0=\frac{i\omega }{2c} r\mu H_z \ \Rightarrow \ j_0 = \frac{i\sigma \omega }{2c} r\mu H_z \ \Rightarrow \ M_0 =\frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4\mu H_z. \ \ \ \ \ (5) \end{equation} В нулевом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра — чисто мнимая величина \begin{equation}\label{beta0} \beta _0=\frac{\pi \sigma \omega \mu a^4}{8c^2}. \ \ \ \ \ (6) \end{equation}

Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j_0$ из уравнения (5) и повторим процедуру: \begin{equation}\label{field-H1} \mbox{rot}\mathbf{H}_1 = \frac{4\pi}c \mathbf{j}_0 \ \Rightarrow \ H_1 = \frac{i\pi\sigma \omega \mu }{c^2}r^2H_z. \ \ \ \ \ (7) \end{equation} Далее $$ E_1 = -\frac{\pi \sigma \omega ^2\mu ^2}{2c^3}H_zr^3 \ \Rightarrow \ j_1 = -\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{2c^3}H_zr^3 \ \Rightarrow \ $$ $$ M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{12c^4}a^6 H_z \ \Rightarrow \ \beta _1= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{12c^4}a^6. $$ В итоге получим, что \begin{equation}\label{tg} \text{tg}\, \varphi =\frac{\chi _1}{\chi _0}=\frac{\beta _1}{\beta _0}= -\frac{\pi ^2 \sigma d ^2\mu }{3c^2}f, \ \ \ \ \ (8) \end{equation} где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ — частота, а $d = 2a$ — диаметр образца. Из (8) получим выражение для расчёта проводимости \begin{equation}\label{sigma} \sigma= -\frac{3c^2\text{tg}\, \varphi }{\pi ^2 d ^2 \mu f }. \ \ \ \ \ (9) \end{equation}

Магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создаётся, в основном, возникающими в теле токами проводимости, он отличен от нуля даже при $\mu =1,$ когда статический момент обращается в нуль. Cтатический магнитный момент должен получаться из $\mathbf{M}(\omega )$ при $\omega \to 0.$ Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости $\beta _1$ при $\omega \to 0$ стремится к постоянному значению (равному нулю при $\mu =1$). Возникновение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии определяется мнимой частью магнитной поляризуемости $\beta _0$. Полученное приближённое соотношение (8) может использоваться для бесконтактного определения проводимости.

Приближённое решение (8) можно получить (задача 382, задачника Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.) из точного решения: $$ \beta = -\frac{1}{4\pi}\Big(1-\frac{2}{ka}\frac{J_1(ka)}{J_0(ka)}\Big), $$ где $k = \frac{1+ i}\delta$ при $\delta \gg a$, разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$ $$ J_0(ka)=1-\frac{(ka)^2}{2^2}+\frac{(ka)^4}{(2\cdot 4)^2}-\frac{(ka)^6}{(2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots , $$ $$ J_1(ka)=\frac{ka}{2}\Big(1-\frac{(ka)^2}{2\cdot 2^2}+\frac{(ka)^4}{3\cdot (2\cdot 4)^2}-\frac{(ka)^6}{4\cdot (2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots \Big). $$

Учёт последующих порядков разложения по параметру $ka$ приведёт к модификации выражения (9) \begin{equation}\label{sigma2} \sigma= -\frac{3c^2\, \text{tg}\,(\varphi) \, F(\text{tg}\, \varphi)}{\pi ^2 d ^2 \mu f }, \ \ \ \ \ (10) \end{equation} где функцию $F(x)$ в интервале $x\in [0;5]$ можно аппроксимировать полиномом: $$ F(x)\approx 1+0,0121x+0,0112x^2+0,018x^3-0,00254x^4. $$

Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\beta _0 (\omega = 0) =\overline{\beta }\neq 0$, то вместо формулы (8) следует воспользоваться выражением \begin{equation}\label{tg-mod} \mbox{tg}(\varphi) = \frac{16c^2\overline{\beta }}{\pi d^2\sigma \mu f} -\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (11) \end{equation} Эта формула правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\, \varphi = 0.$

Полученное приближённое выражение (10) может использовать для бесконтактного определения проводимости на малых частотах.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001.
2. Вонсовский С. В. Магнетизм. М.: Наука: Физматлит, 1984.
3. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1. Новосибирск: НГУ, 2003.
4. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
5. Варченко A.A., Канель O.M., Крафтмахер Я.А., Романенко А.И. Измерение остаточного сопротивления методом комплексной магнитной восприимчивости. Научные труды Гиредмета, 1980, Т. 96, c. 26–40.
6. Крафтмахер Я.А. Измерение электропроводности по фазовому углу эффективной магнитной восприимчивости. Новосибирск: АН СССР, Сибирское отделение, Институт неорганической химии. Препринт № 89–24, 1989.