В отличие от электрического поля, которое создается электрическими зарядами, в том числе и покоящимися, магнитное поле возникает только при движении электрических зарядов. Магнитных «зарядов» (монополей) до настоящего времени не обнаружено. Величину статического магнитного поля в любой точке $\vec r$ можно вычислить, если известно распределение токов $\vec j(\vec r')$ в окружающем пространстве ¹⁾:

$$\vec B (\vec r )=\frac{1}{c} \int \frac{[\vec j(\vec r')\times (\vec r-\vec r')]}{(\vec r-\vec r')^{3} } dV' \text{ (СГС), }$$

$$\vec B (\vec r )=\frac{\mu _{0} }{4\pi } \int \frac{[\vec j(\vec r')\times (\vec r-\vec r')]}{(\vec r-\vec r')^{3} } dV' \text{ (СИ). (1а)}$$ Это выражение называют законом Био – Савара.

Отсутствие магнитных зарядов означает, что силовые линии магнитного поля должны быть замкнутыми, и, следовательно, простейшим источником магнитного поля является магнитный диполь, создаваемый круговым током. Основной величиной, характеризующей магнитный диполь, является его магнитный момент $\vec m.$

Если ввести вектор $\vec a,$ равный по величине площади поверхности, ограниченной круговым током $I,$ и направленный вдоль оси $z$ по нормали к этой поверхности, то магнитный момент определяется выражением $$\vec m=\frac{I}{c} \vec a \text{ (СГС),}$$ $$\vec m=I\vec a \text{ (СИ). (2а)} $$ На расстояниях, значительно превышающих радиус витка с током, магнитное поле диполя равно $$\vec B(r)=\frac{3\vec r\left(\vec r\cdot \vec m\right)-\vec mr^{2} }{r^{5} } \text{ (СГС),} $$ $$ \vec B(r)=\frac{\mu _{0} }{4\pi } \frac{3\vec r\left(\vec r\cdot \vec m\right)-\vec mr^{2} }{r^{5} } \text{ (СИ). (3а)} $$

В частности, если вектор $\vec m$ лежит в плоскости $xz,$ то компоненты поля в системе СГС имеют вид $$ \begin{array}{l} {B_{x} =\frac{3m\sin \theta \cos \theta }{r^{3} } ,} \\ {B_{y} =0,} \\ {B_{z} =\frac{m(3\cos ^{2} \theta -1)}{r^{3} } .} \end{array} $$

Подобно электрическому диполю, магнитный диполь — это векторная величина, т.е. в нашем трехмерном пространстве диполь содержит три компоненты. В отличие от электрического диполя магнитный диполь нельзя представить пространственно-разделенными зарядами противоположного знака, так как не существует магнитных зарядов. Единица измерения магнитного момента следует из представления магнитного диполя витком с током, в СИ [m] = А·м${}^{2}$.

Дипольным приближением можно пользоваться и в микроскопических масштабах (например, в случае атомных или молекулярных токов), и в лабораторных экспериментах с токовыми витками или постоянными магнитами, лишь бы расстояние до точки наблюдения было больше размеров диполей. Сейчас известно, что многие частицы, из которых состоит вещество: электроны, протоны, нейтроны, ядра атомов и многие ионы, ведут себя как магнитные диполи, т.е. обладают собственным магнитным моментом и создают магнитное поле, находясь даже в покое. Более детальное рассмотрение показывает, что магнитный момент этих частиц тоже можно представить круговым током, т.е. вращающимися электрическими зарядами. Постоянные магниты изготавливают из ферромагнитных материалов, в которых магнитные моменты молекулярных токов ориентированы параллельно друг другу и «заморожены» в этом состоянии.

На магнитный диполь, помещенный в постороннее магнитное поле, действует сила $\vec F(r)=\left(\vec m\cdot grad\right)\vec B(r),$ а также механический вращательный момент $\vec T=\vec m\times \vec B$ ²⁾. Механическому вращательному моменту соответствует потенциальная энергия $U =-\vec m\cdot \vec B.$

Как и любая физическая система, магнитный диполь стремится перейти в положение с наименьшей потенциальной энергией и поэтому ориентируется в направлении внешнего магнитного поля. Благодаря вращательному моменту стрелка компаса поворачивается в направлении магнитного поля.

Для измерения магнитного поля используют измерители, работающие на различных принципах. Одним из наиболее распространенных являются индукционные датчики (ИД), представляющие из себя катушку, обычно медного провода, в которой изменяющееся магнитное поле вызывает ЭДС согласно закону электромагнитной индукции: $$ {\cal E} =-N_{0} \frac{d\Phi (t)}{dt}, $$ где $N_{0}$ — число витков катушки, $\Phi$ — магнитный поток: $$\Phi =\int \limits_{A}\vec B\cdot \vec n dS ,$$ $\vec В$ — напряженность поля, $\vec n$ — вектор нормали к поверхности $A$. Например, если поле постоянно и параллельно вектору $\vec n,$ то $\Phi= В \cdot S,$ вполне очевидно, что поток не зависит от формы поверхности: пусть A${}_{1}$ и А${}_{2}$ две поверхности натянутые на один и тот же контур и ограничивающие объем V, тогда по теореме Гаусса: $$\Phi _{1} -\Phi _{2} =\int \limits_{A_{1} }\vec B\cdot \vec n\, dS -\int \limits_{A_{2} }\vec B\cdot \vec n\, dS =\int \limits_{V}div\vec B\, dV=0 .$$

Для усиления эффекта используют многовитковую катушку, а также вставляют внутрь стержень из ферромагнитного материала.

Датчик этого типа реагирует только на изменение магнитного потока, а следовательно, он не сможет измерять стационарные поля. Достоинством ИД является чрезвычайно широкий диапазон измеряемых магнитных полей, а также возможность создания датчиков слабых полей.

В работе применяются датчики, основанные на эффекте Холла. В простейшем случае эффект Холла состоит в том, что в проводнике, по которому течет ток, под действием внешнего магнитного поля возникает разность потенциалов между боковыми гранями:

Объясняется эффект Холла тем, что на движущиеся электроны действует сила Лоренца и отклоняет их к боковым граням. Таким образом, на торцах образца накапливаются заряды противоположного знака. Накапливаются до тех пор, пока сила их притяжения не компенсирует силу Лоренца: $eE=evB$, $е$ — заряд, $Е$ — электрическое поле, $В$ — магнитное поле, $v$ — скорость движения зарядов. Скорость движения зарядов можно выразить через плотность тока: $v=\frac{j}{ne},$ $j$ — плотность тока, $n$ — концентрация носителей заряда, $е$ — заряд одного носителя. Тогда $E =\frac{1}{ne} jB.$ Установившееся электрическое поле пропорционально току и магнитному полю, также очевидно, что это поле зависит от знака носителей заряда.

Последнее упомянутое свойство позволило в 1879 г. Эдвину Холлу экспериментально доказать, что ток в металлах создается направленным движением именно электронов.

Несмотря на то, что носителями заряда в металлах являются электроны, имеющие отрицательный заряд, для некоторых металлов (например, свинец, цинк, железо, кобальт, вольфрам) в сильном магнитном поле наблюдается положительный знак константы Холла $R_{H}.$ Более подробно эффект Холла вы сможете изучить в лабораторной работе, посвященной этому эффекту.

Теперь рассмотрим основные характеристики датчиков магнитного поля. Как определить, какой датчик лучше подходит для конкретной задачи? Основной характеристикой датчика является его чувствительность. Обычно чувствительность указывают в В/Тл, т.е. если чувствительность равна 1 В/Тл, то в поле 1 тесла на датчике возникнет напряжение 1 вольт. Например, среднее магнитное поле Земли составляет 50 мкТл и датчик с чувствительностью 1 В/Тл не очень подходит для его измерения.

Другой важной характеристикой датчика является диапазон измеримых полей. Обычно под этим подразумевают максимальное значение поля, которое можно измерить датчиком. Многие типы датчиков имеют свойство «насыщаться», т. е. при приложении поля, большего чем максимальное, датчик выдает одно и то же значение напряжения, вне зависимости от поля.

Еще одна важная характеристика датчика — это его линейность. Обычно указывается в процентах. Предполагается, что напряжение на датчике прямо пропорционально измеряемому полю, на самом деле это не так, например, из-за эффекта магнетосопротивления (см. приложение) линейность зависимости U(B) для датчика Холла нарушается. У большинства современных датчиков нелинейность составляет $\sim 1\div 3.$

Для некоторых видов датчиков указывают температурные коэффициенты, например, дрейф магнитной чувствительности (magnetic sensitivity temperature drift). Обычно в процентах. Этот коэффициент показывает, на сколько процентов изменяется чувствительность при изменении температуры на 1 градус. Зависимость магнитной чувствительности от температуры связана, прежде всего, с изменением сопротивления элементов датчика при изменении температуры.

Современные датчики обычно содержат в себе встроенные усилители, поэтому в документации к датчикам приводятся параметры, характерные для усилителей, например, смещение нуля. Смещение нуля означает, что при нулевом магнитном поле на выходе датчика будет соответствующее ненулевое напряжение.

Назад к описанию лабораторных работ раздела Электростатика и магнитостатика или далее к описанию эксперимента