Идея измерения заряда электрона по дробовому шуму проста. Для того, чтобы экспериментально определить заряд электрона, нужно измерить или задать контролируемым образом все величины $\overline{U_{др}^2}$, $I$, $R$, $\Delta f$, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$. Для этого к схеме: достаточно подсоединить полосовой фильтр ПФ, пропускающий со входа на выход сигнал только в известной полосе частот $\Delta f = f_в - f_н$, измеритель анодного тока $I$ и вольтметр среднеквадратичных значений $U_{эф}$: Разделительный конденсатор С предназначен для «отрезания» от последующей схемы постоянной составляющей анодного тока $I_0$ (и соответственно большого по сравнению с напряжением шума постоянного напряжения на сопротивлении $U_R= I R$. Поскольку получающаяся величина шумового напряжения весьма мала, то после ПФ стоит усилитель с коэффициентом усиления $К_у$, не зависящим от частоты в пределах полосы пропускания фильтра ПФ. Усиленный сигнал будет уже доступен измерению вольтметром среднеквадратичных значений: $U_{эф} = К_у\cdot \sqrt{\overline{U_{др}^2}}$.

Сделаем оценку. При приемлемом токе диода порядка 1 мА и анодном сопротивлении 1 кОм напряжение шума в полосе частот $\Delta f = 1$ кГц будет составлять $U_{эф} = \sqrt{\overline{U_{др}^2} } = \sqrt{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}\cdot 10^{-3}\cdot 10^6\cdot 10^3}\approx 5\cdot 10^{-7}$ В, т.е. 0,5 мкВ.

Если усилитель имеет коэффициент усиления 1000 ($К_у = 10^3$), то напряжение на его выходе будет составлять уже $U_{эф} = 0,5$ мВ, что вполне доступно для измерения вольтметром с достаточно высокой точностью. Таким образом все величины, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$ будут определены.

Необходимая для этой идеи амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра показана на рис. 2,б. Однако уровень развития электроники в 30-х гг. 20-го века был таков, что полосовых фильтров просто еще не существовало. Поэтому в технической реализации описанной идеи были использованы избирательные свойства колебательного контура.

Рассмотрим особенности установки, связанные с заменой ПФ колебательным контуром (рис. 3 а,б). Основными параметрами колебательного контура являются резонансная частота \textit{f${}_{0}$} и добротность \textit{Q}, которые можно определить по его амплитудно-частотной характеристике (АЧХ).

Для получения АЧХ используется генератор \textit{G} и вольтметр (осциллограф) \textit{V} (рис. 3,а). Зависимость амплитуды сигнала на осциллографе в зависимости от частоты генератора (при неизменном напряжении на его выходе) – это и есть АЧХ контура.

Таким образом, колебательный контур является эквивалентом полосового фильтра: со входа (от генератора) на выход (на вольтметр) он пропускает сигнал только в некоторой полосе частот вокруг резонансной частоты \textit{f${}_{0}$}. Но в пределах этой полосы его коэффициент передачи \textit{К = U${}_{L}$/U${}_{L}$${}_{0}$} (где \textit{U${}_{L}$${}_{0}$} – напряжение на вольтметре при резонансной частоте) изменяется сложным образом (рис. 3,б). Однако суммарное пропускание контура определится площадью подинтегральной кривой и будет эквивалентно пропусканию идеального ПФ имеющего такую же площадь (рис. 3,в).

Теоретически замена сопротивления R контуром сводится к подстановке в формуле \eqref{GrindEQ2_} вместо \textit{R} комплексного сопротивления контура \textit{Z(f)}. Тогда формула \eqref{GrindEQ2_} преобразуется к виду \[\overline{U_{4@}^{2} }=2eI_{0} \int _{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2} df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int _{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2} d\omega \]

Интеграл в данной формуле пропорционален площади под резонансной кривой (рис. 2,б) и с учетом конкретных величин \textit{L, C }и\textit{ R${}_{2}$ }может быть выражен через добротность контура \textit{Q}. В результате исходная рабочая формула эксперимента приобретает следующий вид:

$\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } $ или $(U_{MD} /_{C} )^{2} =\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } $ \eqref{GrindEQ3_} \noindent где \textit{$\omega$${}_{0}$ = 2$\pi$f${}_{0}$} – резонансная частота контура, \textit{С} – емкость контура, \textit{Q} – его добротность, \textit{К${}_{\textrm{у}}$} – коэффициент усиления усилителя и \textit{U${}_{\textrm{э}\textrm{ф}}$} – показания среднеквадратичного вольтметра. Таким образом для определения заряда электрона по дробовому эффекту в эксперименте с использованием колебательного контура нам необходимо будет знать емкость контура \textit{С}, и измерить резонансную частоту \textit{f${}_{0}$},\textit{${}_{\ }$}добротность контура \textit{Q} и коэффициент усиления усилителя \textit{К${}_{\textrm{у}}$}. \textbf{Примечание}. Заметим только, что для получения результата по формуле \eqref{GrindEQ3_} добротность контура Q \textit{обязательно должна измеряться экспериментально}, а не рассчитываться по теоретической формуле. Это обусловлено двумя факторами. Во-первых, по переменной (шумовой) составляющей напряжения диод оказывается подключенным параллельно колебательному контуру, а следовательно, его внутреннее сопротивления (зависящее от постоянного тока, протекающего через диод) шунттирует контур и уменьшает его добротность по крайней мере в 5-7 раз по сравнению с теоретически расчитанной величиной для «ненагруженного» контура. Во-вторых, кроме последовательного сопротивления делителя \textit{R${}_{2}$} в расчетные формулы для добротности контура входит активное сопротивление катушки контура. В свою очередь, активное сопротивление провода \textit{переменному току} зависит от частоты, поскольку на частотах $\mathrm{\sim}$ 100 кГц начинает сильно сказываться скин-эффект в проводе («вытеснение» протекающего по нему тока из всего сечения провода к его поверхности). Таким образом, измерение реального активного сопротивления контура на резонансной частоте само по себе превращается в достаточно сложную экспериментальную задачу. По счастью, в нашем эксперименте ее решать не нужно, поскольку экспериментально измеренная добротность контура «автоматически» учитывает не расчетную, а реальную величину этих сопротивлений. Единственное, что следует выполнить – это построить зависимость экспериментального значения добротности контура от тока диода, а затем подставлять в расчетную формулу \eqref{GrindEQ3_} те значения добротности, которые соответствуют реальному току диода, при котором измеряется напряжение шумов. Вывод формулы \eqref{GrindEQ3_} приведен в приложении к данной работе, а с более подробной теорией вакуумного диода, колебательных контуров и фильтров можно ознакомиться в работах практикума 2.1-2.3, 5.1, 5.2 и 5.5, посвященных этим вопросам [4].

Назад к теории явления или далее к описанию установки