Пусть ток и напряжение в электрической цепи меняются по гармоническому закону. Теперь для того чтобы определить ток или напряжение в какой-либо точке схемы в данный момент времени недостаточно знать только амплитуду. Необходимо еще иметь информацию о фазе сигнала. Конечно, можно определять амплитуды и фазовые сдвиги напряжений и токов явно, например $I(t)=I_{0} \sin \left(\omega t+\varphi \right)$, но проще это делать с помощью комплексных чисел. Вместо того чтобы складывать и вычитать синусоидальные функции, можно легко и просто складывать и вычитать комплексные числа, записанные в экспоненциальной форме.

Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^{i\varphi },$ где $А$ и $\varphi$ — действительные числа и $$a+ib=Ae^{i\varphi } \Rightarrow A=\sqrt{a^{2} +b^{2} } , \ \ \ \mbox{ tg}(\varphi) =\frac{b}{a} .$$

Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: $$e^{ikx} =\cos kx+i\sin kx, \ \ \ \cos kx=\frac{1}{2} (e^{ikx} +e^{-ikx}), \ \ \ \sin kx=\frac{1}{2i} (e^{ikx} -e^{-ikx} ),$$ где $i$ — мнимая единица ($i^2=-1$).

Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: $$A\left(t\right)=Re\left(A\left(\omega \right)\exp \left(i\omega t\right)\right),$$ где $A\left(t\right)$ $-$ реальная физическая величина (тока или напряжения); $A\left(\omega \right)$ $-$ та же величина, но в комплексном представлении; $Re$ $-$ операция взятия действительной части. Для определения реальной и мнимой части нужно воспользоваться следующим представлением комплексных чисел: $$z=Re\left(z\right)+i{\kern 1pt} Im\left(z\right)=\rho {\kern 1pt} e^{i\varphi } =\rho \cdot {\kern 1pt} \left(\cos \left(\varphi \right)+i{\kern 1pt} \sin \left(\varphi \right)\right).$$ Преобразование в обратную сторону записывается так: $$A\left(t\right)=A_{0} \cos \left(\omega t+\varphi \right)\to A_{0} \exp \left(i\varphi \right),$$ где $A_{0}$ $-$ амплитуда гармонической составляющей реального сигнала на частоте $\omega$.

Закон Ома для цепей, содержащих только линейные элементы (сопротивления, емкости, индуктивности), записывается в «привычном» виде $U=I\cdot Z$. Только все входящие в закон величины являются комплексными: $Z$ $-$ импеданс линейного участка цепи; $U$ $-$ падение напряжения на нем; $I$ $-$ протекающий по нему ток.

Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс.

Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал – его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом.

Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу $$\frac{1}{Z_{\Sigma } } =\frac{1}{Z_{1} } +\frac{1}{Z_{2} } +\frac{1}{Z_{3} } +\ldots .$$

Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем \textit{RLC} или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

\textbf{2.3. Векторные диаграммы }

Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^{i{\kern 1pt} \varphi } =\cos \left(\varphi \right)+i\cdot \sin \left(\varphi \right)$, где $i$ – мнимая единица, и изобразить его на комплексной плоскости вектором, численно равным единице, под углом $\varphi$ к действительной оси (рис. 4, \textit{а}). Вектор не единичной длины, например, функция $I=I_{0} \cdot e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)}$ в этом случае будет представлена вектором, изображенным на рис. 4, \textit{б}.

\noindent \includegraphics*[width=3.58in, height=1.11in, keepaspectratio=false]{image16}

\noindent \textit{Рис. 4}. Векторы на комплексной плоскости

Гармонические функции в комплексном виде представляются мнимой или действительной частью соответствующего комплексного числа. Например, косинусоидальный ток $I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)$, где $I_{a}$ – амплитуда, можно представить в виде $$I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)=Re\, \left(I_{a} e^{i\omega \, t} \right)$$ и изобразить в виде проекции вектора $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)}$ на ось + 1 или Re (рис. 4, \textit{б}). Re и Im – условное обозначение реальной и мнимой части комплексного числа. Для представления синусоидальной зависимости $I=I_{a} \cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ достаточно выбрать фазу $\psi$равной $-{\pi \mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}$.

Поскольку угол $\varphi =i\, \left(\omega \, t+\psi \right)$ линейно зависит от времени, то вектор $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)}$ будет вращаться с круговой частотой $\omega$. Для исключения этого вращения в случае гармонических величин принято на комплексной плоскости изображать их для момента времени $t=0$. В этом случае $\omega \, t=0$ и $$I_{a} e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} =I_{a} e^{i\psi } =I.$$ Величина $I$ называется комплексной амплитудой. Таким образом, комплексная амплитуда изображает ток $I$ на комплексной плоскости в момент времени $t=0$ (рис. 4, \textit{в}).

\textbf{2.4. Законы Кирхгофа}

Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю: $$\begin{equation} \label{GrindEQ__3_} \sum _{k=0}^{N}I_{k} =0. \end{equation}$$

Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим – знак минус.

Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: $$\begin{equation} \label{GrindEQ__4_} \sum _{k=0}^{N}U_{k} =\sum _{k=0}^{P}{\rm E} _{k} . \end{equation}$$

Произвольно заданные направления токов $I_{k}$ в системе \eqref{GrindEQ3_} приводят к положительному вкладу $U_{k}$ в \eqref{GrindEQ4_}, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы ${\rm E} _{k}$ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении.

\textbf{2.5. Мощность, выделяемая в схемах с \textit{R},\textit{ L},\textit{ C} в цепях переменного тока}

Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени $$p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right).$$ Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi$. В этом случае мгновенная мощность записывается как $$\begin{equation} \label{GrindEQ__5_} \begin{array}{l} {p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)=} \\ {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} \end{array} . \end{equation}$$ Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь – когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна $$P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right).$$ Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2}$: $U={U_{0} \mathord{\left/{\vphantom{U_{0} \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} }$, $I={I_{0} \mathord{\left/{\vphantom{I_{0} \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} }$. При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной $$Q=UI\sin \left(\psi \right)$$ и полной мощности $$\left|S\right|=\sqrt{P^{2} +Q^{2} } .$$ Полная мощность определяет максимальное амплитудное значение гармонической составляющей мощности, циркулирующей через двухполюсник.

По аналогии с понятием импеданса в цепях переменного тока вводят комплексное выражения для мощности $$S=U\cdot I^{*} =U\, I\, e^{i\psi } =UI\cos \left(\psi \right)+i\, UI\sin \left(\psi \right)=P+iQ.$$ Операция $I^{*}$ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$.

На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору \textit{I} на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ – реактивной.

\includegraphics*[width=2.38in, height=1.12in, keepaspectratio=false]{image23}

\textit{Рис. 5.} Треугольник мощностей

Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5, \textit{б}, называют \textit{треугольником} \textit{мощностей}. Если угол $\psi$на рис. 5, \textit{б} положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi$ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.

\textbf{2.6. Переходные процессы}

Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.

\noindent \includegraphics*[width=2.11in, height=1.51in, keepaspectratio=false]{image24}

\noindent \textit{Рис. 6.} Схема, иллюстрирующая анализ переходных процессов

\includegraphics*[width=2.23in, height=1.68in, keepaspectratio=false]{image25}

\noindent \textit{Рис. 7.} Временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ в схеме, изображенной на рис. 6

Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:

1) незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость $-$ разрыв;

2) индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т. е. ток через нее будет минимален.

Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.

В начальный момент времени (t = 0) индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи \textit{ab}, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении \textit{R} = 1 $\Omega$ равно нулю. Затем за время порядка $\tau$ $\approx$ \textit{L/R} = 50 $\mu$с ток достигает значения 0,5 А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь \textit{cd} с сопротивлением 100 $\Omega$. Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях \textit{be} и \textit{cd}. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.

Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8.

\includegraphics*[width=2.28in, height=1.13in, keepaspectratio=false]{image26}

\noindent \textit{Рис. 8.} Схема, иллюстрирующая использование законов Кирхгофа

\noindent Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: $$\begin{equation} \label{GrindEQ__6_} I_{1} -I_{2} -I_{3} =0. \end{equation}$$ Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: $$\begin{equation} \label{GrindEQ__7_} I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right), \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{GrindEQ__8_} I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right). \end{equation}$$ Дифференцируя уравнение \eqref{GrindEQ8_} по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt}$ и выражая $I_{2}$ и $I_{3}$из уравнений \eqref{GrindEQ6_} и \eqref{GrindEQ7_}, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: $\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right)$ (СИ). \eqref{GrindEQ9_}

Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) решение уравнения $\eqref{GrindEQ__9_}$ может быть записано в аналитической форме.

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений $-$ решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}$. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}$ описывает либо гармонический процесс ($p_{i}$ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i}$ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i}$ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.

Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).

\noindent \includegraphics*[width=3.36in, height=1.55in, keepaspectratio=false]{image27}

\noindent \textit{Рис. 9.} Примеры переходных процессов

\noindent