В экспериментальной практике существует необходимость измерения характеристик импульсных токов. В некоторых случаях прямое включение измерительных приборов в электрическую цепь невозможно. Например, в высоковольтных цепях, при быстрых разрядах в газе или если ток образован пучком заряженных частиц в ускорителе. Для того чтобы найти метод бесконтактного измерения параметров импульсного тока, достаточно заметить, что при движении зарядов в окружающем пространстве возникает переменное электромагнитное поле. Регистрируя вторичные эффекты от наведенного поля, можно получить измеряемые данные о параметрах импульса.

Для получения информации о величине и форме импульсного тока по наведенному переменному магнитному полю применяется пояс Роговского. В нашем случае он представляет собой длинный замкнутый соленоид с равномерной намоткой витков. Этот соленоид размещается так, чтобы охватывать измеряемый ток $I_{1} \left(t\right)$ (рис. 1).

Можно заметить, что пояс представляет собой просто импульсный трансформатор, где первичной обмоткой является проводник с исследуемым током $I_{1} \left(t\right)$, а вторичной — пояс Роговского. Известно, что трансформатор хорошо передает форму сигнала (в пределах своего рабочего диапазона), если в первичной обмотке течет синусоидальный ток. В случае импульсного тока произвольной формы $I_{1} \left(t\right)$ задача усложняется и информация о форме импульса во вторичной обмотке может быть утеряна. Форма и величина выходного сигнала с пояса Роговского зависит от временных параметров исследуемого импульса, конструкции пояса и характеристик подключаемой нагрузки. И только в некоторых случаях при определенных соотношениях между параметрами импульсного тока $I_{1} \left(t\right)$ и пояса Роговского можно по сигналу, снимаемому с пояса, восстановить форму $I_{1} \left(t\right)$ с помощью достаточно простых методов.

Принцип действия пояса Роговского заключается в следующем. Вокруг переменного тока $I_{1} \left(t\right)$ создается переменное магнитное поле и создает э.д.с. индукции $E\left(t\right)$ в соленоиде (рис. 1) с коэффициентом взаимной индукции $M$ [2. С. 281]. $$ \cal{E}\left(t\right)=-M\frac{\partial I_{1} \left(t\right)}{\partial \, t} \ \ \ \mbox{ (СИ), } \cal{E}\left(t\right)=-M\frac{1}{c^{2} } \frac{\partial I_{1} \left(t\right)}{\partial \, t} \ \ \ \mbox{ (СГС),} $$ где $M$ — коэффициент взаимной индукции. Индуктивность соленоида $L=N\cdot M$, где $N$ — число витков [3. П. 51].

Здесь и далее будет использоваться в качестве основной система СИ. При расчетах по формулам в этой системе окончательные численные результаты сразу получаются в практических единицах — вольтах, амперах и пр. [2. С. 370]. Для основных формул приведен также их вид в гауссовой системе единиц. Сопоставление всех формул электродинамики для этих двух систем приведено в [2. С. 668]).

Э.д.с., наводимую на контуре $\varepsilon \left(t\right)$, можно измерить измерительным прибором. Например, если подключить к поясу осциллограф, то на экране будет наблюдаться производная тока. Для получения информации об исследуемом токе $I_{1} \left(t\right)$ требуется найти метод восстановления $I_{1} \left(t\right)$ по измеряемой величине $\varepsilon \left(t\right)$ или, другими словами, проинтегрировать $\frac{dI_0}{dt}$. Для этой цели предложено два способа подключения пояса к измерительной цепи. В одном из них пояс работает в режиме интегрирования тока на собственной индуктивности, в другом — в режиме интегрирования тока на внешней емкости. Рассмотрим их подробнее.

Подключим к поясу активное нагрузочное сопротивление $R_{н} $, с которого будем снимать напряжение, возникающее при протекании тока по цепи соленоид. Рассмотрим эквивалентную электрическую схему пояса для такой цепи, изображенную на рис. 2. Здесь $L$ — индуктивность пояса; $C_{0} $ — его собственная емкость; $r$ — активное сопротивление пояса; $\cal{E} \left(t\right)$ — наведенная э.д.с. индукции в поясе; $R_{н} $ — активное внешнее нагрузочное сопротивление.

Конструктивно изготовим пояс так, чтобы он обладал малой емкостью. Оценка малости для емкости в схеме на рис. 2 фактически означает, что емкостное сопротивление $C_{0} $ на характерных частотах $\omega $ сигнала $I_{1} \left(t\right)$ настолько велико, что оно не шунтирует сигнал на $R_{н} $ ($C_{0} $ параллельна $R_{н} $) и слабо влияет на амплитуду снимаемого с $R_{н} $ сигнала, т. е. $$ R_{н} +r\ll \frac{1}{\omega C_0}. $$

В этом случае при рассмотрении электрической цепи емкостью $C_{0} $ можно пренебречь. Отметим, что параметр малости для $C_{0} $ корректно вводить только вместе с частотой сигнала $\omega $. Тогда, по закону Кирхгофа для такой цепи, можем написать $$ \varepsilon \left(t\right)=L\frac{dI_{2} }{dt} +\left(R_{н} +r\right)I_{2} =-M\frac{dI_{1} }{dt} , $$ где $I_{2} $ — ток в цепи пояса; $I_{1} $ — исследуемый импульс тока.

Общее решение этого уравнения, как показывается в курсе дифференциальных уравнений, есть $$ I_{2} \left(t\right)=\frac{1}{L} e^{-\frac{t}{\tau }} \int \limits_{0}^{t}e^{-\frac{\xi }{\tau }} \varepsilon \left(\xi \right)\, d\xi , $$ где $\tau =\frac{L}{R_н +r}$ — характерная постоянная времени интегрирования $LR$ цепочки (см. ч. I, радел 3.1 и 4.1); $\xi $ — переменная интегрирования. На этом этапе нет простого соответствия между $I_{1} \left(t\right)$ и $I_{2} \left(t\right)$, т.е. условие малости емкости пояса еще не приводит к желаемому результату. Продолжим поиск дополнительных условий, при которых измеряемый сигнал на $R_{н} $ был бы пропорционален $I_{1} \left(t\right)$.

Пусть длительность импульса тока (характерное время изменения тока) $\tau _{н} $ мала по сравнению с $\tau =\frac{L}{R_н +r}$ — собственным временем интегрирования пояса с нагрузкой $R_{н} $. Полагая для оценок, как и в формуле $R_{н} +r\ll \frac{1}{\omega C_0},$ $\tau _{н} \approx \frac{1}{\omega }$, можно записать это в виде неравенства $$ C_0(R_{н} +r) \ll \tau _{н} . $$

Фактически это случай малой активной нагрузки по сравнению с индуктивной. Тогда членом $\left(R_{н} +r\right)I_{2} $ в уравнении определения $\varepsilon (t)$ можем пренебречь и это уравнение непосредственно интегрируется $$ I_{2} (t)=\frac{1}{L} \int _{0}^{t}e^{-{\frac{\xi }{ \tau } }} \varepsilon \left(\xi \right)\, d\xi =-MI_{2} \left(t\right) $$ или $$ I_2 (t)=\frac{I_1(t)}{N}, \ \ \ \mbox{ при } \tau _{н} \ll \tau =\frac{L}{R_{н} +r}. $$

Такой режим работы пояса называют также режимом трансформации тока. Коэффициент трансформации тока $$K_{i} =\frac{I_2}{I_1}=\frac{1}{N}. $$ оказывается таким же, как и для трансформатора с обмотками в $1$ и $\frac{1}{N}$ витков [3. c.136]. Напряжение $U_{вых}$ на нагрузке пояса при этом $$ U_{вых} =\frac{R_{н} \cdot I_1}{N}. $$

Напряжение на $R_{н} $ прямо пропорционально $I_{1}(t)$, чего и требовалось достичь.

Дополнительно можно подчеркнуть, что конкретный пояс Роговского с параметрами $C_{0} $ и $L$ способен правильно регистрировать импульсы тока в некотором диапазоне характерных времен изменения импульса исследуемого тока. Можно сформулировать иначе: для импульсов $\tau _{н} $ следует подобрать пояс с определенными $C_{0} $ и $L$. Для оценки эти условия можно выписать, учитывая $R_н+r \ll (\omega C_0) ^{-1}$ и $R_н + r\ll \omega L$, в виде неравенства $$ \left(R_{н} +r\right)C_{0} \ll \tau _{н} \ll \frac{L}{R_{н} +r}. $$ Наличие малой активной нагрузки $R_{н} $ обуславливает относительно низкую чувствительность $\frac{U_{вых}}{ I_1(t)}$ этой схемы. С другой стороны, требование малости $R_{н} $ и $C_{0}$ обуславливает максимально широкий частотный диапазон измерений для данного пояса. Основную погрешность в измерении формы импульса $I_{1} \left(t\right)$ дает конечная величина постоянной времени $\tau $ пояса. Емкостью $C_{0} $ в уравнениях пренебречь легко, однако на практике нельзя изготовить пояс без емкости. Взглянув на схему, можно увидеть, что индуктивность пояса $L$ и емкость $C_{0} $ образуют колебательный $LC_{0} $ контур с затуханием на собственном сопротивлении провода обмотки пояса (см. ч. I, радел 4.1). Поэтому при регистрации самых коротких импульсов на фоне сигнала пропорционального $I_{1} \left(t\right)$ могут наблюдаться собственные затухающие колебания $LC_{0} $ контура, и картина, наблюдаемая на осциллографе, будет сложнее, чем описываемая уравнением $ U_{вых} =\frac{R_{н} \cdot I_1}{N}. $ Этот случай наблюдается на поясах в данной лабораторной работе.

Если в качестве нагрузки включить большое сопротивление ($R_{н} \gg L\omega $), то в этом случае пояс Роговского можно использовать для измерений в режиме интегрирования тока на внешней емкости.

Схема включения пояса в этом режиме изображена на рис. 3. К обмоткам пояса в качестве нагрузки подключается интегрирующая $R_{н} C_{н} $ цепочка, которая интегрирует ток$I_{2} \left(t\right)$ (см. ч. I, радел 3.1).

Здесь $L$ — индуктивность пояса; $C_{0} $ — его собственная емкость; $r$ — активное сопротивление пояса; $\varepsilon \left(t\right)$ — наведенная э.д.с. индукции в поясе; $R_{н} $ — активное внешнее нагрузочное сопротивление; $C_{н} $ — внешняя нагрузочная емкость.

Для восстановления формы исходного тока $I_{1} \left(t\right)$ измеряемый сигнал снимается с емкости $C_{н} $. Рассмотрим подробнее работу пояса в данной схеме. Индуктивность пояса вместе с элементами интегрирующей цепочки представляет собой колебательный контур с затуханием, последовательно с которым включена внешняя э.д.с. $\varepsilon \left(t\right)$. Собственной емкостью пояса $C_{0} $ пренебрегаем. Аналогично $$ \varepsilon \left(t\right)=L\frac{dI_{2} }{dt} +\left(R_{н} +r\right)I_{2} =-M\frac{dI_{1} }{dt} , $$ можем записать уравнение для замкнутой цепи \begin{equation} \label{GrindEQ__10_} \varepsilon \left(t\right)=L\frac{dI_{2} }{dt} +\frac{1}{C_{н} } \int I_{2} dt+\left(R_{н} +r\right)I_{2} =-M\frac{dI_{1} \left(t\right)}{dt} , \end{equation} где $I_{2} $ — ток в цепи пояса; $I_{1} $ — исследуемый импульс тока.

Подберем параметры интегрирующей цепочки так, чтобы при протекании тока $I_{2} \left(t\right)$ с характерным временем $\tau _{н} $ по цепи пояса основное падение напряжения падало на активном сопротивлении $R_{н} +r$ пояса. Это соответствует требованию малости величины индуктивного импеданса пояса $\omega L\ll R_{н} +r$ и емкостного сопротивления $(\omega C_н)^{-1}\ll R_{н} +r$ (при $\omega \approx \tau _{н}^{-1} $) на характерных частотах исследуемого импульса тока. Одновременно это также требование малости $\tau _{н} $ по сравнению с временем $\tau $ интегрирования $R_{н} C_{н} $ цепочки $\tau =\left(R_{н} +r\right)C_{н} $. При таких условиях последнее уравнение преобразуется в \begin{equation} \varepsilon \left(t\right)=\left(R_{н} +r\right)I_{2} \left(t\right)=-M\frac{dI_1}{dt}, \end{equation} из которого находим зависимость $I_{1} \left(t\right)$ от $I_{2} \left(t\right)$ \begin{equation} \label{GrindEQ__12_} I_{1} \left(t\right)=-\frac{R_{н} +r}{M} \int I_{2} \left(t\right)dt , \end{equation}

Рассмотрим напряжение $U_{н} $ на емкости $C_{н} $ с выхода интегрирующей цепочки, смысл использования которой и состоял в том, чтобы проинтегрировать $\varepsilon \left(t\right)$ и получить в явном виде $I_{1} \left(t\right)$ \begin{equation} \label{GrindEQ__13_} U_{C} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int I_{2} \left(t\right)dt . \end{equation} Сравнивая последние выражения получаем \begin{equation} \label{GrindEQ__14_} I_{1} \left(t\right)=-\frac{\left(R_{н} +r\right)C}{M} U_{C} \left(t\right)=-\frac{\left(R_{н} +r\right)C}{L} N\cdot U_{C} \left(t\right). \end{equation}

Итак, получена явная и прямая зависимость измеряемого сигнала с пояса от формы исследуемого импульсного тока, что и являлось конечной целью. Зная параметры пояса и интегрирующей цепочки $R_{н}$, $r$, $C_{н} $, $L$, $N$, можно по напряжению на конденсаторе определить амплитуду $I_{0} \left(t\right)$. Условия работы пояса в этом режиме можно оценить неравенством \begin{equation} \frac{L}{R_{н} +r} \ll \tau _{н} \ll \left(R_{н} +r\right)C_{н} . \end{equation}

Величина напряжения на выходе пояса $U_{вых} =\frac{R_{н} \cdot I_1}{N} $ или интегрирующей цепочки $U_{C} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int I_{2} \left(t\right)dt $ не зависит от положения проводника с током или пучка частиц внутри пояса. Достаточно, чтобы пояс охватывал измеряемый ток. Это утверждение справедливо для сравнительно медленного изменения импульса тока во времени. Если импульс достаточно короткий и ось пояса не совпадает с проводником, с током, то вследствие конечной скорости распространения электромагнитной волны разные участки пояса будут взаимодействовать с ней в разные моменты времени. Это приведет к искажению формы сигнала.

Вследствие конечного времени распространения сигнала вдоль пояса значение э.д.с. индукции связана со значением $\frac{dI_1}{dt}$ не только в данный момент времени, но и в некотором промежутке, равном времени распространения сигнала вдоль пояса. Если длительность измеряемого импульса сравнима с временем распространения, то будут наблюдаться искажения формы импульса.

Для регистрации импульсов большой длительности в режиме интегрирования тока на собственной индуктивности можно увеличивать величину индуктивности пояса. Это достигается увеличением площади сечения обмотки, числа витков и (там, где это возможно) применением сердечника с большой магнитной проницаемостью. Так, один из поясов в лабораторной работе намотан на ферромагнитном кольце.

Пояс можно намотать на длинный гибкий ремень и «опоясать» им часть установки (просматривается происхождение термина «пояс»).

При измерении пояс не обязательно должен представлять собой замкнутый соленоид. Принцип работы пояса при этом не меняется, но количественные данные, снимаемые с выходной нагрузки, потребуют дополнительной калибровки.

Используемые электриками «токоизмерительные клещи» представляют собой откалиброванный для промышленной сети пояс Роговского.

Пояс с соединенными концами представляет из себя «виток» провода в плоскости тора. Если присутствует постороннее переменное магнитное поле, пронизывающее эту плоскость, то на концах пояса появится дополнительная неконтролируемая э.д.с.. Кроме того, импульсный ток, проходящий по соленоиду, наводит в нем дополнительную э.д.с. самоиндукции. Учесть эти дополнительные неконтролируемые эффекты довольно трудно. Зато существует способ их исключить. Для этого достаточно от одного конца соленоида пропустить внутри соленоида обратный виток к другому концу и снимать сигнал с них (рис. 1). Этот обратный виток вызывает такую же по величине, но обратную по знаку э.д.с., как паразитную и самоиндукции. Таким образом, неконтролируемые эффекты автоматически компенсируются.

Если длина пояса гораздо больше его поперечных размеров, то он представляет собой коаксиальную электрическую линию. Обмотка пояса играет роль внешнего проводника, а обратный виток – роль центральной жилы. В этом случае при регистрации коротких импульсов во избежание многократных отражений от концов пояса сопротивление нагрузки стараются согласовать с волновым сопротивлением линии (которое вычисляется как $\sqrt{\frac LC} $, где $L$ и $C$ — удельная индуктивность и емкость на единицу длины линии). Индуктивность и емкость пояса нельзя представлять в виде сосредоточенных параметров $L$ и $C_{0}$, как это сделано на рис. 2 и 3, а следует рассматривать удельные величины на единицу длины пояса. При правильном изготовлении пояса и согласованной нагрузке собственные колебания пояса могут быть сильно подавлены.

Установка для измерения параметров импульсного тока с помощью пояса Роговского состоит из двух вариантов конструкции пояса Роговского, генератора прямоугольных импульсов, осциллографа и различных нагрузок, подсоединяемых к выходу пояса. Принципиальная электрическая схема установки приведена на рисунке:

Для создания импульсов тока $I_{1} \left(t\right)$ в данной работе обычно установлен генератор прямоугольных импульсов, выход которого согласован на нагрузку $50$Ом. От генератора на проводник, проходящий по оси двух поясов, подается прямоугольный импульс. Этот проводник нагружен на сопротивление $50$Ом, к которому подключается один из входов осциллографа для наблюдения за параметрами импульса генератора. Если в работе используется другой генератор, то нагрузку $50$Ом следует заменить на согласованную с генератором. К выходу пояса можно подключать различные варианты нагрузок для реализации работы пояса в режиме интегрирования тока на собственной индуктивности или режиме интегрирования тока на внешней емкости. Сигнал с этой нагрузки подается на второй вход осциллографа, на котором наблюдается форма импульса с интегрирующих $RL$ — ($ U_{вых} =R_{н} \cdot I_1(t)N^{-1} $) или $RC$ — $$ I_{1} \left(t\right)=-\frac{\left(R_{н} +r\right)C}{M} U_{C} \left(t\right)=-\frac{\left(R_{н} +r\right)C}{M} N\cdot U_{C} \left(t\right) $$ цепочек. Собственное активное сопротивление проводов r в лабораторных поясах мало и им можно пренебречь в соответствующих формулах.

Конструктивные параметры поясов Роговского

1. Сивухин Д.В., Общий курс физики. М.: Наука, 1983. Т. 3. Электричество.
2. Мешков И.Н., Чириков Б.В., Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука. Сиб. отд–ние, 1987. Ч. 1.
3. Князев Б.А., Костюрина А.Г., Лаборатория электричества и магнетизма. Введение в практикум. Новосибирск: НГУ, 2005.

Назад к описаниям лабораторных работ «Электрические цепи» или далее к описанию эксперимента