Решение уравнения (18) будем искать в виде $$ \phi \left(\alpha ,z\right)=\int _{0}^{\infty }dk\sin (kz-kvt)\left[\mu _{k} \exp \left(ka\alpha \right)+\nu _{k} \exp \left(-ka\alpha \right)\right] , \ \ \ \ \ (22) $$ а коэффициенты $\mu _{k} $ и $\nu _{k} $ находятся из граничных условий для азимутальной компоненты плотности тока $j_{\alpha } =0$ на обоих краях разреза. Обозначив угловую ширину разреза через $\Delta \alpha $ и приняв, что краям разреза соответствуют азимуты $\alpha =\pm (\pi -\frac{\Delta \alpha }{2})$, находим: $$ \mu _{k} =-\nu _{k} =-\frac{mv}{\pi c} \frac{kK_{1} (ka)}{\cosh \left[\left(\pi -\frac{\Delta \alpha}{2}\right)ka\right]} , \ \ \ \ \ (22) $$ где $K_{1} $ — функция Бесселя первого порядка второго рода [2, с.777]. Мощность, диссипируемая в стенке равна $$ P=\frac{h}{\sigma} \int _{-\pi +\Delta \alpha /2}^{\pi -\Delta \alpha /2}d\alpha a\int _{-\infty }^{\infty }dz\left[j_{\alpha }^{2} +j_{z}^{2} \right], \ \ \ \ \ (23) $$ где компоненты плотности тока $j_{\alpha } $ и $j_{z} $ вычисляются с помощью уравнений (17), (21) и (22): $$ j_{\alpha } =\frac{2m\sigma v}{\pi c} \int _{0}^{\infty }dkk^{2} K_{1} \left(ka\right)\sin \left[k\left(z-vt\right)\right]\frac{\cosh \left[ka\alpha \right]-\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]}{\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]} , $$ $$ j_{z} =\frac{2m\sigma v}{\pi c} \int _{0}^{\infty }dkk^{2} K_{1} \left(ka\right)\cos \left[k\left(z-vt\right)\right]\frac{\sinh \left[ka\alpha \right]}{\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]} . \ \ \ \ \ (24) $$ Выполнив интегрирование по $\alpha $ и $z$ в уравнении (21) и разделив результат на $v$, находим силу торможения: $$ F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma vh}{c^{2} } \frac{m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\frac 12 \alpha \right), $$ где функция $$ Q\left(\beta \right)=\frac{512}{45\pi ^{3} } \int _{0}^{\infty }d\xi \xi ^{3} K_{1}^{2} \left(\xi \right)\left[\beta \xi -\tanh \left(\beta \xi \right)\right] \ \ \ \ \ (25) $$ дает отношение тормозящей силы в трубе с разрезом и без разреза.

Назад к краткой теории