Эффектной демонстрацией законов электродинамики является опыт с падением постоянного магнита в длинной проводящей трубе. Тормозящая сила, действующая на магнит, существенно замедляет его движение, а время падения магнита увеличивается во много раз.

Процесс возникновения тормозящей силы можно объяснить следующим образом. При прохождении магнита через некоторое сечение трубы меняется магнитный поток, пронизывающий это сечение. По закону электромагнитной индукции изменение магнитного потока наводит ЭДС в сечении трубы, и если стенки трубы проводящие, то в ней возникнут вихревые электрические токи, иначе называемые токами Фуко (см. [1, с.270]). Если магнит перемещается вдоль оси трубки, а его полюса ориентированы вдоль этой оси, вихревые токи текут в азимутальном направлении, как показано на рис. 1. Индуцированные токи создают «вторичное» неоднородное магнитное поле, которое взаимодействует с падающим магнитом и вызывает его торможение.

Попробуем получить выражение на тормозящую силу, действующую на падающий магнит. Как известно, сила взаимодействия магнитного диполя с неоднородным внешним магнитным полем равна (см. [1, c.243]): $$ \vec F=(\vec m\cdot \vec \nabla ) \vec B, \ \ \ \ \ (1) $$ где $\vec m $ — магнитный момент диполя, $\vec B$ — «вторичное» неоднородное магнитное поле. Эта сила будет направлена в сторону, противоположную скорости магнита, т.е. будет тормозить движение. Далее для определенности мы будем иметь в виду случай падения магнита в поле тяжести, хотя для вычисления силы магнитного торможения, природа силы приведшей магнит в движение, не имеет значения. Так как сила торможения увеличивается с ростом скорости, в конечном итоге устанавливается постоянная скорость падения магнита в поле тяжести, при которой силы тяжести и торможения уравновешивают друг друга.

Поскольку в экспериментах используется достаточно короткий магнит, при расчетах можно с хорошей точностью считать его точечным магнитным диполем с магнитный моментом $\vec m$, направленным вдоль оси $z$ круглой трубы с внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$. Пусть диполь движется вдоль оси трубы $z$, которой соответствует $r=0$ в цилиндрической системе координат $(r,\alpha ,z)$, а его положение на оси $z$ в произвольный момент времени $t$ задано функцией $z_{m}(t)$.

Из аксиальной симметрии задачи видно, что магнитное поле должно иметь только радиальную и аксиальную компоненты, а электрическое только азимутальную. Т.е. $$ \vec B=(B_{r} ,0, B_{z}), \ \ \vec E=(0,E_{z} ,0), \ \ \ \ \ (2) $$

Как известно, поверхность проводника является эквипотенциальной, следовательно, скалярный потенциал $\varphi $ по всему объему трубки одинаков и мы можем положить его равным нулю. Как известно, для вектора $\vec B$ справедливо выражение $\vec B=rot\vec A$ (см. [1, с.293]), где вектор $\vec A$ называется векторным потенциалом, и для нашего случая имеет только азимутальную компоненту, $\vec A=A_{\alpha } (r,z,t)\vec e_{\alpha }.$ В этом случае отличными от нуля окажутся только следующие компоненты электромагнитного поля: $$ B_{r} =\frac{\partial A_{\alpha } }{\partial z} ,B_{z} =\frac{1}{r} \frac{\partial rA_{\alpha } }{\partial r} ,E_{\alpha } =-\frac{1}{c} \frac{\partial A}{\partial t} \ \ \ \ \ (3) $$ т.е. условие (2) будет выполнено.

Для трубы, сделанной из немагнитного материала, т.е. когда $\mu =1$, и при относительно низкой скорости движения магнита $v$, когда эффективная глубина скин-слоя $\delta =\frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }},$ оцененная для характерной частоты $\omega \sim \frac va$ и заданной проводимости материала стенки $\sigma $, больше радиуса трубы $a$ (приближение слабого скин–эффекта), магнитное поле магнита почти не возмущается стенкой трубы. Как известно вектор–потенциал магнитного диполя определяется выражением [1, с.242]: $$ \vec A=\frac{[\vec m\times \vec R]}{R^3} \ \ \ \ \ (4) $$ Тогда, для нашего случая, когда есть только азимутальная компонента векторного потенциала $\vec A$, можно записать $$ A_{\alpha } (r,z,t)=\frac{mr}{[r^{2} +\left(z-z_{m} (t)\right)^{2} ]^{3/2} }, \ \ \ \ \ (5) $$ Замечая, что $\frac{\partial A_{\alpha } }{\partial t} =-v\frac{\partial A_{\alpha } }{\partial z} $, где $v=\dot{z}_{m} $ есть мгновенная скорость движения диполя, можно сразу вычислить индуцированное электрическое поле $E_{\alpha }.$ $$ E_{\alpha } =\frac{v}{c} \frac{\partial A_{\alpha } }{\partial z} =-\frac{3v}{c} \frac{mr(z-z_{m} (t))}{[r^{2} +\left(z-z_{m} (t)\right)^{2} ]^{5/2} }. \ \ \ \ \ (6) $$ В стенках трубки оно индуцирует вихревой ток с плотностью $j_{\alpha } (r,z)=\sigma E_{\alpha }.$ Этот ток создает «вторичное» магнитное поле. Можно считать, что для каждой координаты $r$ и $z$ ток $j_{\alpha } (r,z)$ представляет собой элементарный круговой виток с током. На оси $z$ поле такого витка имеет только $z$ — компоненту и равно (см. [1. с.224]): $$ dB_{z} (z)=\frac{1}{c} \frac{2\pi r^{2} j}{(z^{2} +r^{2} )^{3/2} }. \ \ \ \ \ (7) $$ Для вычисления суммарного «вторичного» магнитного поля проинтегрируем выражение (7) по $r$ и $z$ по всему объему трубки: $$ B_{z} (z,t)=\frac{1}{c} \int _{-L/2}^{L/2}dz' \int _{a}^{b}dr'\frac{2\pi r'^{2} j_{\alpha } (r',z')}{[r'^{2} +(z-z')^{2} ]^{3/2}} , \ \ \ \ \ (8) $$ где $\pm \frac 12 L$ — $z$–координаты концов трубы. Для нахождения тормозящей силы необходимо найти градиент поля в точке расположения диполя. Для этого дифференцируем подынтегральное выражение в (8) по $z$ и приравниваем затем $z$ к $z_{m} (t).$ $$ \frac{\partial B_{z} (z,t)}{\partial z} =\frac{1}{c} \int _{-L/2}^{L/2}dz' \int _{a}^{b}dr'\frac{-6\pi r'^{2} (z-z')j_{\alpha } (r',z')}{[r'^{2} +(z-z')^{2} ]^{5/2} } . \ \ \ \ \ (9) $$ Умножая результат на $m$ и воспользовавшись выражением (6), находим тормозящую силу: $$ F=-\frac{18\pi \sigma m^{2} v}{c^{2} } \int _{-L/2}^{L/2}dz' \int _{a}^{b}dr' \frac{r'^{3} \left(z_{m} -z'\right)^{2} }{\left[r'^{2} +\left(z_{m} -z'\right)^{2} \right]^{5} } . \ \ \ \ \ (10) $$ Она практически не зависит от координаты диполя $z_{m} (t),$ если тот достаточно удален от концов трубки. В пределе $\left|z_{m} \pm \frac 12 L\right|\gg a$, из (10) получаем: $$ F=-\frac{15\pi ^{2} \sigma m^{2} v}{64c^{2} } \left(\frac{1}{a^{3} } -\frac{1}{b^{3} } \right). \ \ \ \ \ (11) $$ В случае тонкостенной трубки толщины $h=b-a\ll a,$ это выражение приводится к виду: $$ F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} vh}{a^{4} c^{2} }. \ \ \ \ \ (12) $$ Знак «минус» здесь явно указывает, что сила направлена против скорости магнита, тем самым, оправдывая название «тормозящая сила».

Теперь получим выражение, описывающее движение магнита во времени. Из выражения (11) видно, что сила торможения пропорциональна скорости и может быть записана в виде $F=-\beta M\dot{z}_{m},$ где $\beta $ — коэффициент магнитного трения, $M$ — масса магнита, а $z_{m} (t)$ — мгновенная координата магнита. Решая уравнение движения магнита $$ \ddot{z}_{m} \left(t\right)+\beta \dot{z}_{m} \left(t\right)=g \ \ \ \ \ (13) $$ в поле тяжести с учетом этой силы торможения с начальными условиями $z_{m} (0)=0,$ $\dot{z}_{m} (0)=v_{1},$ получаем: $$ z_{m} \left(t\right)=\frac{gt}{\beta } -\frac{g-\beta v_{1} }{\beta ^{2} } \left[1-\exp \left(-\beta t\right)\right], \ \ \ \ \ (14) $$ где $v_{1}$ — скорость магнита в центре первой катушки. Для хорошо проводящих трубок магнит тормозится до конечной скорости $v_{\infty } $ очень быстро после начала падения и для таких трубок $v_{1} =v_{\infty } $, тогда $\ddot{z}_{m}=0$, следовательно, коэффициент $\beta =\frac{g}{v_{\infty }}$, а из (12) получим $$ \beta =\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} h}{Ma^{4} c^{2} }. $$

Рассмотрим теперь другой способ измерения магнитного момента постоянного магнита. Пусть вокруг трубы в различных местах вдоль оси намотаны витки проволоки, соединенные последовательно между собой. Тогда при прохождении магнита через плоскость очередного витка на концах последнего будет возникать разность потенциалов. Для вычисления воспользуемся выражением (6): $$ U_{i} \left(t\right)=E_{\alpha } \left(z_{i} ,t\right)\cdot 2\pi \rho =\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c} \frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }, \ \ \ \ \ (15) $$ где $\rho =b+\frac d2$ — радиус измерительного витка, $d$ — диаметр проволоки, $z_{i} $ — координата $i$-того витка, а $z_{m} (t)$ — координата магнита в момент времени $t$, рассчитанная по формуле (14). Если все витки соединены последовательно, то напряжение, снимаемое со всех витков, равно сумме напряжений от каждого из $N$ витков: $$ U\left(t\right)=\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c} \sum _{i=1}^{N}\frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }. \ \ \ \ \ (16) $$

Теперь рассмотрим падение магнита в проводящей трубе с продольным разрезом. Такой разрез разрывает азимутальный ток, циркулирующий в стенке трубы, и на первый взгляд кажется, что эффект торможения должен отсутствовать. Тем не менее, торможение магнита в такой трубке все равно наблюдается. Это вызвано тем, что полярность ЭДС, наводимой в стенках трубки, различна впереди и позади от места расположения движущегося магнита. Из–за этого вихревые токи, индуцированные электродвижущей силой, замыкаются по берегам разреза, как показано на рис. 2. В квазистатическом приближении электрический заряд не может накапливаться в объеме стенки, распределяясь на поверхностях стенки так, чтобы обеспечить замыкание токов проводимости. Поскольку в трубе с разрезом отсутствует аксиальная симметрия, то выражение (3) для этого случая будет выглядеть как: $$ \vec E=\frac{v}{c} \frac{\partial A_{\alpha }}{ \partial z}\vec e_{\alpha } - \vec \nabla \varphi , \ \ \ \ \ (17) $$ где $A_{\alpha } $ — вектор–потенциал точечного магнитного диполя $m$ в свободном пространстве, а $\varphi $ — скалярный (электрический) потенциал, индуцированный поверхностными зарядами. Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi =0$ внутри стенки. Для тонкой стенки уравнение Лапласа можно упростить, приняв во внимание, что внутри стенки отсутствует радиальное электрическое поле, $\frac{\partial \varphi }{\partial r} =0$. Тогда в уравнении Лапласа можно оставить только производные по $\alpha $ и $z$, заменив переменную $r$ на радиус трубки $a$: $$ \frac{1}{a^{2} } \frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial \alpha ^{2} } +\frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial z^{2} } =0. \ \ \ \ \ (18) $$ Отсутствие радиального электрического поля следует из граничных условий для плотности тока $\vec j=\sigma \vec E$, который должен исчезать на границе проводящего материала, если можно пренебречь током смещения.

Решение уравнений (17) и (18) позволяет вычислить силу торможения магнита в трубе с продольным разрезом: $$ F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma vh}{c^{2} } \frac{m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\frac{\Delta \alpha }{2}\right), \ \ \ \ \ (19) $$ где $$ Q\left(\pi -\frac{\Delta \alpha }{2}\right)\approx 0,77-0,16\Delta \alpha \ \ \ \ \ (20) $$ с точностью до нескольких процентов при $\Delta \alpha \le \frac{3\pi }{2} $. Подробное решение этой задачи приведено в приложении 1.

1. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. М.: Наука, 1983.
2. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.
3. Б.А. Князев, В. С. Черкасский. Начала обработки экспериментальных данных. Новосибирск: НГУ, 1996.
4. Таблицы физических величин. Справочник. Под. ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.

Назад к описанию лабораторных работ «Проникновение электромагнитного поля в вещество» или далее к экспериментальной установке