Это старая версия документа!

3.38. Найти вольт–амперную характеристику цилиндрического диода с нулевым радиусом катода (радиус анода $r_a$).

Запишем уравнение Пуассона для координаты $x$, отсчитываемой от катода (заземленного электрода): \[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\] Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных \[mv^{2}/2=e\varphi(x),\] откуда \[v(x)=\sqrt{2e/m\cdot\varphi(x)}.\] Подставляя выражение для скорости через потенциал в уравнение Пуассона, получаем \[\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=4\pi\sqrt{\frac{m}{2e}\frac{J}{S}}\varphi^{-1/2}\equiv A\varphi^{-1/2},\,\,\,\mbox{где}\,\,\,A=2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}\frac{J}{S}}.\]

\[\varphi(0)=0,~~\varphi(d)=U,~~(d\varphi/dx)_{x=0}=0.\] Граничные условия на катоде и аноде имеют вид, причем третье условие – это условие равенства нулю электрического поля вблизи анода.

Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается так: $$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi J }{2\pi re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е. $$ \frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)= \frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(r_a)=U.$$

Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$

Подставляем в уравнение и получаем $$ C\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$

Степени $r$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$, откуда $\alpha\!=\!\frac{2}{3}$.

Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ в предыдущее уравнение и сокращая на $r^{2/3}$, получаем уравнение для $C$: $$ \frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда $$C=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3}.$$

Таким образом, $$ \varphi(r)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},$$ откуда $$ U=\frac{4r_aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$