В теории цепей различают два случая резонансного контура: последовательный и параллельный. Они отличаются способом подключения внешней вынуждающей силы. В случае последовательного резонанса — это генератор напряжения, включенный последовательно в колебательный контур, а в случае параллельного тока — генератор тока подключенный параллельно.

Схема последовательного колебательного контура приведена на рисунке 1, где буквами $U_{G} $ $R$, $L$ и $C$ соответственно обозначены источник переменного гармонического напряжения, сопротивление, индуктивность и конденсатор. Падение напряжение на этих элементах выражается следующим образом (см. ч. I, 1.1-1.3) \[U_{R} =I\cdot R, U_{L} =L\cdot \frac{dI}{dt} , U_{C} =\frac{Q}{C} =\frac{1}{C} \int I(t)dt . \] Если задать переменное напряжение источника в виде гармонической функции с частотой $\omega =2\cdot \pi \cdot f$: \[U_{G} (t)=U_{0} \cdot \sin (\omega \cdot t), \] то установившийся ток в цепи с линейными элементами будет также гармонической функцией с той же частотой, но, в общем случае, с другой начальной фазой $\varphi $: \[I(t)=I_{0} \cdot \sin (\omega \cdot t)\] \begin{equation} U_{R} =I_{0} \cdot R\cdot \sin (\omega \cdot t)=U_{R} \cdot \sin (\omega \cdot t) \ \ \ \ \ (1) \end{equation} \begin{equation} U_{L} =I_{0} \cdot L\cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t+\pi /2)=U_{L\, } \cdot \sin (\omega \cdot t+\pi /2) \ \ \ \ \ (2) \end{equation} \begin{equation} U_{C} =I_{0} \cdot \frac{1}{\omega \cdot C} \cdot \sin (\omega \cdot t-\pi /2)=V_{C} \cdot \sin (\omega \cdot t-\pi /2) \ \ \ \ \ (3) \end{equation}

Из полученных выражений видно, что падение напряжения на ёмкости запаздывает на четверть периода ($\varphi =-90^{\circ }$) относительно тока, а напряжение на индуктивности опережает ток на ту же величину ($\varphi = 90^{\circ }$). Кроме того, видно, что ток и напряжение на конденсаторе и индуктивности, которые называются реактивными элементами цепи, не совпадают по фазе, что отличает их от активного элемента - сопротивления, где фазы тока и напряжения совпадают. При этом напряжение на конденсаторе и индуктивности меняются в противофазе.

Второй закон Кирхгофа для рассматриваемой цепи выглядит следующим образом \begin{equation} U_{G} =U_{R} +U_{L} +U_{C} \ \ \ \ \ (4) \end{equation}

Векторная диаграмма, соответствующая уравнению (4) приведена на рисунке 1. Каждый вектор представляет собой комплексное число характеризующееся амплитудой и фазой. Отметим, что вся диаграмма, как целое вращается с частотой гармонического сигнала $\omega $. Наблюдаемое физическое значение напряжения или тока есть проекция соответствующего вектора на ось $Re$.

Из рассмотрения диаграммы следует соотношение для модулей векторов \[U_{0} =\sqrt{U_{R} {}^{2} +(U_{L} -U_{C} )^{2} } =I_{0} \cdot Z, \] где выражение для полного сопротивления цепи $Z$ \[Z=\sqrt{R^{2} +\left(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C} \right)^{2} } \] получается подстановкой уравнений (1-3) в (4), а фаза $\varphi $ равна \begin{equation} \varphi (\omega )=arctg\left(\frac{\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C} }{R} \right). \ \ \ \ \ (5) \end{equation} Исходя из выражений для полного сопротивления последовательного колебательного контура и используя формулы (1-3), можно определить полный ток $I_0 =\frac{U_0}Z$ и амплитуды падения напряжения на элементах контура: сопротивлении, индуктивности и конденсаторе \begin{equation} U_{{}_{R} } =\frac{U_{0} \cdot R}{\sqrt{R^{2} +\left(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C} \right)^{2} } } , \ \ \ \ \ (6) \end{equation} \begin{equation} U_{L} =\frac{U_{0} \cdot L\cdot \omega }{\sqrt{R^{2} +\left(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C} \right)^{2} } } , \ \ \ \ \ (7) \end{equation} \begin{equation} U_{C} =\frac{U_{0} }{C\cdot \omega \cdot \sqrt{R^{2} +\left(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C} \right)^{2} } } . \ \ \ \ \ (8) \end{equation} Выражения (6-8) позволяют построить частотные зависимости напряжений на всех элементах последовательного колебательного контура, пример таких зависимостей приведён на рисунке 2.

Рис. 2. Зависимость напряжения (в вольтах) на элементах последовательного колебательного контура $R$, $L$ и $C$ от частоты для разных интервалов перестройки частоты внешнего сигнала (а, слева) $0.1\cdot \omega _{0} <\omega <10\cdot \omega _{0} $, (б, в центре)- $0.5\cdot \omega _{0} <\omega <1.5\cdot \omega _{0} $ (в, справа) $0.05\cdot \omega _{0} <\omega <1.05\cdot \omega _{0} $. Величины напряжений $U_{L} $ и $U_{C} $ уменьшены в $Q$ раз, где добротность $Q$ определяется формулой (10). Напряжение на генераторе 1 вольт, $Q=5$.

Из рис. 2 (а) видно, что на малых частотах всё напряжение генератора падает на конденсаторе, который согласно формуле 2 (ч. I, раздел 1.2) имеет очень большое реактивное сопротивление. На больших частотах падение напряжение определяется индуктивностью (ч. I, раздел 1.3). Все резонансные кривые имеют максимум вблизи резонансной частоты, значение которой \begin{equation} \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C} } \ \ \ \ \ (9) \end{equation}

При этом оказывается, что резонанс напряжения на сопротивлении точно соответствует частоте (9), а резонансные частоты для $U_{C} $ и $U_{L} $ немного отличаются от $\omega _{0} $ (см. ч. I, раздел 3.6), что заметно при точном измерении частоты при малых значения параметра $Q$ (см. рис. 2, в). Из рис. 2 (в) видно также, что максимум напряжения на сопротивлении равен напряжению источника переменного напряжения ($U_{R}^{res} =U_{G} $), а максимумы на реактивных элементах контура $C$ и $L$ превышают $U_{G} $ приблизительно на фактор добротности $Q$ \begin{equation} Q=\frac{\omega _{0} \cdot L}{R} =\frac{1}{\omega _{0} \cdot R\cdot C} =\frac{1}{R} \cdot \sqrt{\frac{L}{C} } =\frac{\rho }{R} , \ \ \ \ \ (10) \end{equation}

Где $\rho \sqrt{\frac{L}{C} } $ характеристическое или волновое сопротивление контура. Собственные колебания возникают в контуре только при $Q <1.$

Оценим величину энергии, запасённой в реактивных элементах контура, используя формулы (1–3). $$ W=\frac{L\cdot I^{2} }{2} +\frac{C\cdot U_{C}^{2} }{2} = \ \ \ \ \ (11) $$ $$ =\frac{L}{2} \cdot I_{0}^{2} \cdot \sin (\omega \cdot t+\varphi )^{2} +I_{0}^{2} \cdot \frac{1}{2\cdot \omega ^{2} \cdot C} \cdot \cos (\omega \cdot t+\varphi )^{2} $$ При резонансе ($\omega =\omega _{0} $) выражение (11) принимает вид \[W_{Res} =\frac{L}{2} \cdot I_{0}^{2} \cdot \left(\sin (\omega \cdot t+\varphi )^{2} +\cos (\omega \cdot t+\varphi )^{2} \right)=\frac{L}{2} \cdot I_{0}^{2} \] Из которого видно, что запасённая энергия попеременно сосредотачивается в конденсаторе и в индуктивности, сохраняясь постоянной при постоянной подпитке от источника напряжения. Поглощение энергии происходит в активном элементе цепи - сопротивлении. Средняя за период диссипация энергии в сопротивлении \[\Delta W=\left\langle I\cdot V_{R} \right\rangle \cdot \frac{2\cdot \pi }{\omega _{0} } =\left\langle I_{\max }^{2} \cdot R\cdot \sin ^{2} (\omega \cdot t+\varphi )\right\rangle \cdot \frac{2\cdot \pi }{\omega _{0} } =\frac{I_{\max }^{2} \cdot R}{2} \cdot \frac{2\cdot \pi }{\omega _{0} } \] Отношение запасённой в резонансной системе энергии к потерям за период оказывается равным добротности с множителем $2\cdot \pi $.

Любая резонансная система характеризуется двумя экспериментально наблюдаемыми зависимостями — амплитудно-частотной (АЧХ) $I=I\left(f\right)$ и фазо–частотной (ФЧХ) $\varphi =\varphi \left(f\right)$. Для того, чтобы получить обобщенные характеристики контуров, эти характеристику строят в относительных величинах $A\left(f\right)=\frac{I\left(f\right)}{I_0} $, где $I_0$ — максимальное значение тока в контуре при резонансной частоте.

Свойства амплитудно–частотной характеристики описываются выражениями 6–8 и показаны на рис. 2. Ширина резонансной кривой определяется добротностью колебательной системы. Чем выше добротность колебательной системы, тем уже резонансный пик, тем меньше относительные потери в системе. Напряжение на реактивных компонентах контура на фактор добротности $Q$ превышает напряжение на задающем источнике, что иногда приводит к разрушительным последствиям. Так при $Q=100$, напряжение на реактивных элементах $C$ и $L$ будет на два порядка больше напряжения источника, что может вызвать пробой изоляции в элементах цепи. Заметим, что при столь сильном возрастании напряжения на реактивных элементах в резонансе, эти напряжения остаются в противофазе друг с другом, поэтому суммарное падение напряжения на реактивных элементах $C$ и $L$ уменьшается при резонансе до нуля, а сопротивление всей цепи последовательного колебательного контура становится чисто резистивным и определяется только величиной $R$.

Частотная зависимость фазы тока в цепи (и напряжения $U_{R} $), определяемая формулой (5) показана на рисунке 3.

Рис. 3. Частотная зависимость разности фаз напряжения источника и тока в цепи для последовательного колебательного контура. Штриховые линии соответствуют значениям фазы $\pm \frac 12 \pi $ Диапазон изменения частоты $0.5\cdot \omega _{0} <\omega <1.5\cdot \omega _{0} $.

В низкочастотной части амплитуда тока определяется емкостью, и фаза тока опережает напряжение на четверть периода. В точке резонанса емкостные и индуктивные вклады в импеданс сравниваются и взаимно вычитаются, при этом разность фаз между током и напряжением источника равна нулю. После прохождения точки резонанса в высокочастотной части зависимости постепенно нарастает индуктивный вклад, и фаза тока стремится к чисто индуктивному запаздыванию относительно напряжения на четверть периода колебаний. При этом диапазон частот, на котором происходит перестройка от ёмкостного к индуктивному типу поведения фазы, соответствует ширине резонансной кривой на рис. 2 (б).

Изложенная выше теория колебательного контура имеет дело с идеализированными моделями физических процессов. При применении теории к эксперименту ограничения реальной аппаратуры часто требуют внесения дополнительных корректив в описание процессов. Практическая схема последовательного колебательного контура, используемого в настоящей работе, приведена на рисунке 4. Сопротивления R1 и R2 на этой схеме дополняют стандартный генератор, делая его более похожим на идеальный источник напряжения. Генераторы переменного тока, используемые в работе, не являются идеальными источниками тока или напряжения из-за того, что обладают конечным собственным внутренним сопротивлением. Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю, а у идеального источника тока оно равно бесконечности.

Рис. 4. Практическая схема последовательного колебательного контура.

Внутреннее сопротивление используемого в работе генератора составляет 50 Ом и является сравнимым или даже большим по отношению к характерным активным и реактивными сопротивлениям. Выход модифицированного генератора с сопротивления R2 позволяет уменьшить эквивалентное внутреннее спротивление до 2.5 ома ценой значительного уменьшения подаваемого на контур переменного напряжения. Тем не менее, при минимальном сопротивлении нагрузки, возможном в схеме и равном $R=R_{L}=4.4$ Oма, условие большой малости выходного сопротивления генератора напряжения $R2 \ll R$ выполняется не достаточно хорошо и должно быть учтено при анализе результатов. Схема даёт возможность измерения напряжения непосредственно с сопротивления $R2.$ Появление сопротвления $R_L$ связано с тем, что реактивные элементы, и особенно индуктивность, не являются идеальными и обладают активными потерями. Для катушки индуктивности потери связаны с активным сопротивлнием ($R_L$) провода, которым намотана катушка. В данной схеме $R$ представляет собой минимальную величину активной нагрузки $R,$ используемой в теоретических формулах 1–11 выше, $R=(R_L+R3+R4).$ Сопротивление $R3$ переменное и служит для изменения уровня активных потерь в контуре, а $R4$ используется для измерения тока в цепи контура. Падение напряжения на активных элементах контура измерить непосредственно без изменения схемы невозможно. Это связано с тем, что внешний контакт коаксиальных разъёмов, на генераторе и осциллографе заземлён. Поэтому напряжение в точке 2 на схеме измеряется относительно земли и состоит из падения напряжения на конденсаторе $С$ и на сопротивлении $R4.$ Поскольку вкладом последнего можно пренебречь из за его относительной малости, то напряжение в точке 2 соответсвует падению напряжения на конденсаторе С. Напряжение между точками 1 и 2 может быть определено с помощью вычитания сигналов с соответствующих каналов непосредственно на осциллографе. Такая операция может быть выбрана из меню, включаемого кнопкой «math menu» на осциллографе. Сигналы, подаваемые на осциллограф с контура, особенно с сопротивления $R4,$ имеют малую величину и могут искажаться высокочастотными хаотическими шумами осциллографа, которые уширяют линии осциллограмм. Для уменьшения этого эффекта следует использовать усреднение осциллограмм, которое можно выбрать из меню, включаемого кнопкой «acquire», расположенной в верхнем ряду кнопок панели управления осциллографа. В меню вместо «sample» нужно выбрать «aver 16», принимая во внимание при этом, что реакция осциллограмы, на изменение условий в контуре, например, частоты генератора, будет в режиме усреднения осциллограмм немного замедленной.

Схема параллельного колебательного контура приведена на рис. 5. В данном случае вынужденные колебания в контуре создаются за счет источника тока подключенного параллельно колебательному контуру. Особенностью идеального источника тока является то, что он питает цепь током фиксированной амплитуды независимо от величины нагрузки, т.е. импеданса или сопротивления подсоединённой к нему цепи. При параллельном соединении элементов цепи складываются токи в разветвляющихся участках цепи, а не падения напряжения, как в случае последовательного соединения. Падение напряжение одинаково на всех элементах, соединённых параллельно, аналогично тому, как это было с током, одинаковым во всей последовательной цепи \[I_{R} =\frac{U}{R} =U\cdot g, I_{C} =C\cdot \frac{dU}{dt} , I_{L} =\frac{1}{L} \int U(t)dt . \] Нетрудно видеть, что уравнения эти точно повторяют уравнения для последовательного резонанса, если в последних заменить ток на напряжение, сопротивление $R$ на проводимость $g=\frac 1R, $ а емкость на индуктивность. Первый закон Кирхгофа для токов в параллельном контуре имеет вид: \[I_{g} =I_{R} +I_{L} +I_{C} , \] а векторная диаграмма токов изображена на рис. 4. Ток на конденсаторе опережает ток источника на $\frac 12\pi$, а ток на индуктивности на столько же запаздывает относительно тока источника.

Рис. 5. Параллельный колебательный контур и векторная диаграмма токов в нем

Характерные функции для токов в параллельном контуре могут быть получены аналогично таким функциям для последовательного контура. Комплексная проводимость параллельного контура получается аналогично комплексному сопротивлению последовательного колебательного контура (см. уравнение (19) в разделе 4 настоящего сборника: \begin{equation} Y=g-i\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)=g-i\omega C\left(\frac{\omega _{0} }{\omega } -\frac{\omega }{\omega _{0} } \right), \ \ \ \ \ (12) \end{equation}

где $\omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C} } $ частота резонанса в параллельном контуре.

Полная проводимость контура $$ \left|Y\right|=\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)^{2} \right)} =\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{\omega _{0} }{\omega } -\frac{\omega }{\omega _{0} } \right)^{2} \right)} , \ \ \ \ \ (13) $$ а фаза \begin{equation} \varphi (\omega )=arctg\frac{\omega _{0} C}{g} \left(\frac{\omega _{0} }{\omega } -\frac{\omega }{\omega _{0} } \right) . \ \ \ \ \ (14) \end{equation} Частотная зависимость разности фаз приведена на рисунке 6.

Рис.6 Частотная зависимость тока источника и напряжения на параллельном контуре от частоты.

Здесь зависимость разности фаз напряжения на контуре и тока источника для низких частот носит индуктивный характер и емкостной характер на частотах, значительно превышающих резонансную частоту. Для идеального источника тока, у которого величина тока I остаётся постоянной, напряжение U($\omega$) на контуре \begin{equation} U(\omega )=\frac{I}{\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)^{2} \right)} } , \ \ \ \ \ (15) \end{equation} а токи в ветвях контура пропорциональны их проводимостям. \begin{equation} I_{L} (\omega )=\frac{I}{\omega L\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)^{2} \right)} } , \ \ \ \ \ (16) \end{equation} \begin{equation} I_{R} (\omega )=\frac{Ig}{\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)^{2} \right)} } , \ \ \ \ \ (17) \end{equation} \begin{equation} I_{C} (\omega )=\frac{I\omega C}{\sqrt{\left(g^{2} +\left(\frac{1}{\omega L} -\omega C\right)^{2} \right)} } , \ \ \ \ \ (18) \end{equation}

Как и в случае последовательного контура, АЧХ образует острый пик на резонансной частоте, но, если в последовательном контуре наблюдается резонанс напряжений, то в параллельном контуре возникает резонанс токов. При этом добротность и острота резонансного пика в первом случае увеличиваются с уменьшением сопротивления, а во втором случае это происходит при увеличении сопротивления. Физически это понятно, поскольку сопротивление $R$, моделирует в последовательном контуре потери на элементах самого контура, и полное отсутствие потерь соответствует $R=0$. Обозначенное той же буквой сопротивление в параллельном контуре моделирует потери, вызванные внешней по отношению контура цепью, и в этом случае при отсутствии потерь $R\to \infty $.

Практическая схема параллельного колебательного контура приведена на рисунке 7. Здесь сопротивление $R5$ предназначено для увеличения внутреннего сопротивления генератора переменного тока, которое с его помощью значительно превышает реактивные сопротивления индуктивности и емкости, в области частот не слишком далеких от резонанса. Дальнейшее увеличение сопротивления $R5$ приводит к снижению напряжения, подаваемого на колебательный контур, что затрудняет проведение измерений. Точка 4 позволяет измерять напряжение U($\omega$), подаваемое на контур. Точки 1–3 предназначены для измерения токов, по падению напряжения на сопротивлениях $R1,$ $R2$ и $R3$ в ветвях c индуктивностью, емкостью и активной нагрузкой $R4$ соответственно.

Сигналы, подаваемые на осциллограф с этих сопротивлений, имеют малую величину и могут искажаться высокочастотными хаотическими шумами осциллографа, которые уширяют линии осциллограмм. Для уменьшения этого эффекта, как и в случае с последовательным контуром, рекомендуется использовать усреднениее осциллограмм, которое можно выбрать из меню, включаемого кнопкой «acquire», расположенной в верхнем ряду кнопок панели управления осциллографа. В меню вместо «sample» нужно выбрать «aver 16», принимая во внимание при этом, что реакция осциллограмы, на изменение условий в контуре, например, частоты генератора, будет в режиме усреднения осциллограмм немного замедленной.

1. Часть I, разделы 1.1-1.5, 2.1-2.4, 3.4$-$3.7 настоящего сборника.
2. А.М. Мищенко Линейные электрические цепи: учеб. пособие, под ред.проф. М. М. Карлинера. Новосибирск: Изд-во Новосиб. roс. ун--та, 1999.
3. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. (7-е издание, 2009)
4. М.Р. Шебес,Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах, Москва : Высш. шк., 1967
5. Г.С. Горелик, Колебания и волны, М., Физматгиз, 1959.
6. Л.И. Мандельштам, Лекции по теории колебаний, М., Наука, 1973.
7. Физическая энциклопедия, Ред. А.М. Прохоров, М., Советская энциклопедия, 1988–1998.
8. Н.В. Варламов, Э.Я. Школьников, Линейные электрические цепи переменного тока часть II Учебное пособие, М.: МИФИ, 2008. --- 88 с.

Назад к описаниям лабораторных работ «Электрические цепи» или далее к описанию эксперимента